Sujet maths pi

Quelle était la meilleure façon de calculer pi avant l’ère informatique ? INTRO: Le nombre π fait aujourd’hui et depuis 250 ans avant JC partie intégrante des fondements des maths et en particulier de la géométrie. C’est Archimède, un mathématicien grec qui a démontré en premier les formules du cercle et surtout qu’il existe une même constante qui intervient dans le calcul de la circonférence et du diamètre. C’est d’ailleurs pour ça que pi se nomme aussi la constante d’Archimède. De même, ce chiffre pose un problème depuis toujours : il est irrationnel, et il s’écrit avec un nombre infini de décimales sans aucune suite logique, ce qui rend impossible de calculer sa valeur exacte. Au cours de l’Histoire, la valeur de pi a souvent évolué, et elle s’est de plus en plus précisée par diverses méthodes de calcul. Mais alors quelle était la meilleure façon de calculer pi avant l’ère informatique ? Pour répondre à cette problématique, je vous propose tout d’abord d’aborder la méthode d’Archimède pour parvenir à cette constante . Ensuite je vous présente la solution de Buffon qu’il a établie en 1733. Pour finir mon oral je vais m’appuyer sur une démarche calculatoire , celle de Wallis . D’après mes recherches, il existe en effet plusieurs façons de déterminer une valeur approximative de pi. Certaines sont plus rapides, d’autres plus précises. Mais la toute première méthode de déterminer pi que j’ai choisis est bien entendu celle d’Archimède. Il suffisait de tracer un cercle, et de mesurer le périmètre de ce cercle avec le plus de précision possible. Ceci consiste à approcher le périmètre de ce même cercle par celui de polygones inscrits et exinscrits ayant de plus en plus de côtés .On détermine ensuite le diamètre de ce cercle, puis on utilise la formule de la circonférence selon laquelle la circonférence est égale au produit de pi et du diamètre (C = π x d). On peut ainsi en déduire que π est égal au quotient de la circonférence par le diamètre. Ainsi Archimède a poussé ses calculs jusqu’à arriver à un polygone à 96 côtés , ce qui lui a permis d’obtenir l’encadrement : 3.1408 ≤π≤ 3.1429.Cependant, cette méthode reste trop peu précise car il faut reproduire l’expérience un trop grand nombre de fois pour préciser une approximation de pi . J’ai donc dû déterminer une autre façon de calculer pi, et j’ai donc découvert la méthode de Buffon qui repose sur les probabilités cette fois-ci. Il a remarqué qu’en jetant un très grand nombre d’aiguilles sur un parquet, on pouvait obtenir une approximation de π. Pour cela, il faut utiliser des aiguilles qui ont comme longueur la moitié de la largeur des lattes du parquet. Ainsi, la probabilité qu’une aiguille coupe le bord du parquet serait de π, ce résultat provient de la relation qu’il a établie : P= 2L/πD . Cette méthode bien qu’aussi nécessitant l’usage de nos sens dépend cette fois ci des probabilités et lorsqu’elle est réalisée un grand nombre de fois elle donnera une approximation de π plus précise que la méthode d’Archimède: 3,14156. On est tout de même toujours confronté à l’expérience sensible qui repose sur des variables aléatoires pour déterminer π. Je dois donc trouver une méthode qui ne dépend que d’étapes calculatoires. Et c’est alors qu’interviennent les intégrales de Wallis. La force de cette méthode est que c’est la première méthode dans l’histoire des mathématiques à formuler une écriture de π sous une forme rationnelle avec un produit infini qui porte d’ailleurs le nom de Produit de Wallis. Une intégrale c’est l’aire exprimée en unités arbitraires du domaine d’un plan situé entre : la courbe représentative d’une fonction, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=a et x=b qui sont les bornes de l’intégrale. Ici je vous montre un exemple quelconque d’une intégrale où la fonction sinus est représentée. Ici, les intégrales de Wallis sont une suite numérique notée Wn en hommage à Wallis qui est définie pour tout n appartenant aux entiers naturels par l’intégrale de 0 à π/2 sin de t à la puissance n dt. On peut évaluer les premières valeurs de cette suite. On a donc W0= π/2, W1=1, W2= π/4 et W3=2/3. On peut donc conjecturer que c’est une suite décroissante, que j’ai démontrée au préalable pour poursuivre la méthode de détermination de π. De plus, sur l’intervalle [0 ; π/2], le sinus est toujours positif, donc en faisant (Wn+1)-Wn on trouve que Wn est une suite décroissante composée de termes tous positifs et minorée par 0. Ainsi, à l’aide du théorème de la limite monotone on peut dire que la suite Wn est une suite convergente. Des étapes intermédiaires et en particulier une intégration par parties qui permet de trouver des primitives de fonctions sous la forme d’un produit permettent par la suite de déterminer une relation de récurrence entre Wn+2 et Wn. On obtient finalement que Wn+2 est égal à (n+1) / (n+2) x Wn. Cette relation de récurrence entre 2 termes non consécutifs nous conduit à étudier la parité de n qui permettra donc d’établir les expressions des intégrales de Wallis. Enfin, puisqu’on a dit que la suite est décroissante, alors Wn+2 est plus petit que Wn+1 qui est plus petit que Wn. Et lorsqu’on divise cet encadrement par Wn, on constate que Wn+1/Wn est majorée par 1 et minorée par Wn+2/Wn qui vaut (n+1) / (n+2). Et la limite de (n+1) / (n+2) lorsque n tend vers + l’infini vaut 1. Ainsi, d’après le théorème des gendarmes, on en déduit que la limite de Wn+1/Wn vaut 1. Toutes ces caractéristiques sur les intégrales de Wallis permettent donc d’aboutir à la formule de Wallis qu’il a établie en 1655 . Elle correspond au produit infini de 4p²/(4p²-1) qui est égal à π/2 et que je vous montre dans le document support . Alors cette formule est cette fois-ci extrêmement puissante puisque pour p=10 on obtient une valeur approchée de π/2 et donc en multipliant par 2 on obtient déjà les 6 premières décimales exactes de π= 3.141592 . On vient alors de calculer une approximation de π a l’aide d’une méthode qui ne fait pas appel à des expériences, ce qui supprime le facteur d’imprécision. CONCLUSION: Les scientifiques ont alors tous leur façon de déterminer pi, a mon tour, j’ai essayé de calculer cette valeur en me situant à une époque où les calculatrices modernes et les ordinateurs n’existaient pas. Puisque avant l’ère informatique, les mathématiciens faisaient la course aux décimales de π afin d’en déterminer le plus possible. En 1949, on connaissait 2037 décimales de π tandis qu’aujourd’hui, grâce à la révolution informatique et à des algorithmes, on est parvenus à calculer 13 300 milliards décimales de π.Je vous remercie de m’avoir écouté . Enfin j’aimerai conclure cet oral avec un peu de poésie : Que j’aime à faire connaître ce nombre utile au sages ! immortel Archimède , artiste ingénieur , qui de ton jugement peut priser la valeur ? Je vous remercie de m’avoir écouté .