Mathématiques et poker : L’art du dénombrement et de la combinatoire

Problématique

Comment les outils du dénombrement et de la combinatoire permettent-ils de calculer rigoureusement les probabilités d’obtenir des mains gagnantes au poker ?

Introduction

Bonjour à toutes et à tous. Le poker est l’un des jeux de cartes les plus populaires au monde, souvent associé à l’audace, au bluff et à la psychologie des joueurs. Pourtant, sous l’apparente tension des regards et des mises, le poker est avant tout un jeu de mathématiques pures. Chaque décision prise par un joueur professionnel – qu’il s’agisse de se coucher, de suivre ou de relancer – est guidée par l’évaluation inconsciente ou calculée de sa probabilité de victoire.

Passionnée depuis plusieurs années par les jeux de stratégie et de cartes, j’ai souvent cherché à comprendre comment estimer scientifiquement les chances d’obtenir une main gagnante. L’étude de la combinatoire et des probabilités cette année m’a donné les outils mathématiques nécessaires pour répondre à cette question. Ma problématique est la suivante : Comment les outils du dénombrement et de la combinatoire permettent-ils de calculer rigoureusement les probabilités d’obtenir des mains gagnantes au poker ?

Pour y répondre, nous analyserons d’abord un cas simple de tirage de deux cartes dans un jeu de 32 cartes afin de définir la notion de paire. Puis, nous élargirons notre étude à un tirage classique de poker à 5 cartes, où nous détaillerons le calcul combinatoire complet.

I. Probabilité d’avoir 2 cartes identiques sur un tirage de 2 cartes (environ 4 min)

Commençons par définir ce qu’est une « paire » dans les jeux de cartes. Avoir une paire consiste à obtenir deux cartes ayant la même valeur (ou hauteur) mais des couleurs différentes (par exemple, obtenir le Valet de cœur et le Valet de trèfle).

Pour poser notre modèle, nous utiliserons un jeu de 32 cartes, comprenant 8 hauteurs différentes (le 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi et As), chaque hauteur étant présente en 4 enseignes (cœur, carreau, pique, trèfle). On suppose que le tirage s’effectue de manière simultanée (ce qui équivaut à un tirage successif sans remise où l’ordre des cartes n’a pas d’importance).

Pour évaluer la probabilité de tirer une paire en choisissant deux cartes dans le jeu, nous devons diviser le nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles.

Calcul du nombre de cas possibles : Choisir 2 cartes parmi les 32 cartes du jeu correspond à une combinaison de 2 éléments parmi 32. Le nombre total de mains possibles de 2 cartes est :

$$\text{Total} = \binom{32}{2} = \frac{32 \times 31}{2 \times 1} = 496\text{ mains possibles}$$
Calcul du nombre de cas favorables : Pour former une paire, nous devons :
- Choisir 1 hauteur parmi les 8 disponibles : $\binom{8}{1} = 8$ choix.
- Pour cette hauteur choisie, choisir 2 cartes parmi les 4 couleurs disponibles : $\binom{4}{2} = 6$ choix.
Le nombre de mains favorables contenant une paire est donc de :

$$\text{Favorable} = \binom{8}{1} \cdot \binom{4}{2} = 8 \cdot 6 = 48\text{ paires possibles}$$
Calcul de la probabilité : D’après la loi de Laplace sur l’équiprobabilité des tirages :

$$P(\text{paire en } 2 \text{ tirs}) = \frac{\text{Favorable}}{\text{Total}} = \frac{48}{496} = \frac{3}{31} \approx 0{,}0968 \quad (\text{soit } 9{,}68\ % \text{ de chances})$$

Nous pouvons retrouver ce résultat par un raisonnement probabiliste intuitif plus direct. Lorsque l’on tire la première carte, elle est quelconque. Il reste alors 31 cartes dans le jeu, dont seulement 3 possèdent la même hauteur que la carte que nous venons de piocher. La probabilité que la seconde carte forme une paire est donc directement de $\frac{3}{31}$, soit $9{,}68\ %$.

II. Probabilité d’avoir uniquement une paire sur une main de 5 cartes (environ 3 min 30s)

Dans la version classique du poker fermée (Five-Card Draw), chaque joueur reçoit une main constituée de 5 cartes. Calculer la probabilité d’obtenir uniquement une paire simple (sans double paire, sans brelan, sans carré et sans full) est un exercice de dénombrement plus complexe.

Calcul du nombre de cas possibles : Tirer 5 cartes simultanément parmi 32 correspond au nombre de combinaisons de 5 éléments parmi 32 :

$$\text{Total} = \binom{32}{5} = \frac{32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 201,376\text{ mains de } 5 \text{ cartes}$$
Calcul du nombre de cas favorables : Pour obtenir précisément une paire simple, la structure de notre main doit être de type ${A, A, B, C, D}$, où les hauteurs $A, B, C, D$ sont toutes distinctes. Pour cela, nous devons procéder par étapes :
- Étape 1 : Choisir la hauteur de la paire : nous choisissons 1 hauteur parmi les 8 : $\binom{8}{1} = 8$ choix.
- Étape 2 : Choisir les 2 cartes de la paire : nous choisissons 2 cartes parmi les 4 enseignes de cette hauteur : $\binom{4}{2} = 6$ choix.
- Étape 3 : Choisir les hauteurs des 3 autres cartes : pour éviter d’obtenir une double paire ou un brelan, les 3 autres cartes doivent avoir des hauteurs différentes de celle de la paire et différentes entre elles. Nous devons donc choisir 3 hauteurs distinctes parmi les 7 restantes : $\binom{7}{3} = 35$ choix.
- Étape 4 : Choisir la couleur de ces 3 cartes : pour chacune des 3 autres hauteurs choisies, nous devons sélectionner 1 carte parmi les 4 couleurs disponibles. Cela donne : $\binom{4}{1} \cdot \binom{4}{1} \cdot \binom{4}{1} = 4^3 = 64$ choix.

Le nombre total de mains favorables contenant exactement une paire simple est le produit de ces choix indépendants (principe multiplicatif) :

$$\text{Favorable} = \binom{8}{1} \cdot \binom{4}{2} \cdot \binom{7}{3} \cdot 4^3 = 8 \cdot 6 \cdot 35 \cdot 64 = 107,520\text{ mains}$$

Calcul de la probabilité : La probabilité d’obtenir exactement une paire simple à 5 cartes est :

$$P(\text{paire exacte}) = \frac{107,520}{201,376} \approx 0{,}5339 \quad (\text{soit } 53{,}39\ % \text{ de chances})$$

Cela signifie que dans un jeu de 32 cartes, plus de la moitié des mains distribuées de 5 cartes contiennent une paire simple. C’est la combinaison la plus facile à obtenir, ce qui explique sa faible valeur dans la hiérarchie du jeu.

Conclusion

En conclusion, la combinatoire fournit un cadre mathématique rigoureux pour analyser les jeux de hasard. En décomposant les mains de cartes en choix d’éléments combinatoires successifs, nous parvenons à quantifier avec exactitude la probabilité d’obtenir une paire simple dans un jeu de 32 cartes, que ce soit à 2 cartes ($9{,}68\ %$) ou à 5 cartes ($53{,}39\ %$).

Cette maîtrise des probabilités est l’outil premier des grands joueurs. Elle leur permet de calculer l’espérance mathématique de gain d’une mise (la pot odds) afin de prendre des décisions rationnelles et de vaincre le hasard sur le long terme.

Ce sujet lie ma passion personnelle pour la stratégie à mon projet d’orientation. Je souhaite me diriger vers des études de mathématiques appliquées à la finance ou à l’actuariat, des domaines où l’évaluation du risque et le calcul d’espérance sont les piliers de la décision économique.

Je vous remercie pour votre attention et je suis prête à répondre à vos questions.

Questions Potentielles du Jury

1. Calculez la probabilité d’obtenir un “brelan” (exactement 3 cartes de même hauteur) dans une main de 5 cartes tirée d’un jeu de 32 cartes.

Réponse : Un brelan est une main de structure ${A, A, A, B, C}$, où les hauteurs $A, B$ et $C$ sont distinctes. Le nombre total de cas possibles reste $\binom{32}{5} = 201,376$. Dénombrons le nombre de cas favorables :

Choix de la hauteur du brelan : 1 hauteur parmi 8, soit $\binom{8}{1} = 8$ choix.
Choix des 3 cartes du brelan : 3 cartes parmi les 4 enseignes de cette hauteur, soit $\binom{4}{3} = 4$ choix.
Choix des hauteurs des 2 autres cartes : 2 hauteurs distinctes parmi les 7 restantes, soit $\binom{7}{2} = 21$ choix.
Choix de la couleur pour ces 2 cartes : 1 carte parmi 4 pour chaque hauteur choisie, soit $\binom{4}{1}^2 = 4^2 = 16$ choix. Le nombre de cas favorables est : $$\text{Favorable} = 8 \cdot 4 \cdot 21 \cdot 16 = 10,752\text{ mains}$$ La probabilité d’obtenir un brelan est : $$P(\text{brelan}) = \frac{10,752}{201,376} \approx 0{,}0534 \quad (\text{soit } 5{,}34\ % \text{ de chances})$$ Un brelan est donc environ 10 fois plus rare qu’une paire simple, ce qui justifie sa valeur supérieure.

2. Quelle est la différence entre une permutation, un arrangement et une combinaison ? Définissez-les brièvement.

Réponse : Ce sont trois outils fondamentaux du dénombrement :

La permutation : C’est une disposition ordonnée de tous les éléments d’un ensemble. L’ordre compte et on utilise tous les éléments. Le nombre de permutations d’un ensemble de $n$ éléments est $n!$ (factorielle $n$).
L’arrangement : C’est une disposition ordonnée de $k$ éléments choisis parmi $n$ éléments disponibles. L’ordre compte, mais on n’en choisit qu’une partie ($k \le n$). Le nombre d’arrangements est noté : $$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$
La combinaison : C’est un choix non ordonné de $k$ éléments parmi $n$ éléments disponibles. L’ordre ne compte pas. Le nombre de combinaisons est donné par les coefficients binomiaux : $$\binom{n}{k} = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ Dans nos calculs de poker, l’ordre de distribution des cartes n’a pas d’importance sur la valeur de la main, c’est pourquoi nous utilisons exclusivement les combinaisons.

3. Démontrer par le calcul la formule de Pascal : $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ (pour $1 \le k \le n-1$).

Réponse : Partons du membre de droite de l’égalité et mettons-le au même dénominateur : $$\binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} = \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-1-(k-1))!} + \frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}$$ $$\binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} = \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} + \frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}$$ Pour mettre au même dénominateur $k!(n-k)!$, on multiplie le premier terme par $k/k$ et le second par $(n-k)/(n-k)$, en rappelant que $k \cdot (k-1)! = k!$ et $(n-k) \cdot (n-1-k)! = (n-k)!$ : $$\binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} = \frac{k \cdot (n-1)!}{k!(n-k)!} + \frac{(n-k) \cdot (n-1)!}{k!(n-k)!}$$ En factorisant par $(n-1)!$ au numérateur : $$\binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} = \frac{(n-1)! \cdot [k + (n-k)]}{k!(n-k)!} = \frac{(n-1)! \cdot n}{k!(n-k)!}$$ Sachant que $n \cdot (n-1)! = n!$, on obtient bien : $$\binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{k}$$ La relation de Pascal est ainsi démontrée algébriquement.

4. Comment adapteriez-vous le calcul de la paire simple à 5 cartes pour un jeu standard de 52 cartes (8 hauteurs de plus, soit 13 au total) ?

Réponse : La logique du dénombrement reste identique, mais les paramètres numériques changent :

Total de cas possibles : $\binom{52}{5} = 2,598,960$ mains.
Dénombrement des cas favorables (une paire exacte) :
- Choix de la hauteur de la paire : $\binom{13}{1} = 13$ choix.
- Choix des 2 cartes de la paire dans ce rang : $\binom{4}{2} = 6$ choix.
- Choix des 3 autres hauteurs distinctes parmi les 12 restantes : $\binom{12}{3} = 220$ choix.
- Choix de la couleur pour ces 3 cartes : $4^3 = 64$ choix.
Nombre de cas favorables : $$\text{Favorable} = 13 \cdot 6 \cdot 220 \cdot 64 = 1,098,240\text{ mains}$$

La probabilité d’obtenir une paire simple dans un jeu de 52 cartes est : $$P(\text{paire exacte - 52c}) = \frac{1,098,240}{2,598,960} \approx 0{,}4226 \quad (\text{soit } 42{,}26\ % \text{ de chances})$$ La probabilité est plus basse que dans un jeu de 32 cartes ($53{,}39\ %$) car le plus grand nombre de hauteurs dilue les chances de tirer des cartes identiques.

5. Qu’est-ce que la “côte du pot” (pot odds) au poker et comment s’utilise-t-elle ?

Réponse : La cote du pot est le rapport entre le montant d’argent qu’un joueur doit miser pour rester dans le coup et la taille totale du pot (l’argent accumulé au centre). Par exemple, si le pot vaut $80\text{ €}$ et qu’un adversaire mise $20\text{ €}$, le pot total est de $100\text{ €}$. Pour rester dans le coup, le joueur doit payer $20\text{ €}$. La cote du pot est de $20 / (100 + 20) = 20 / 120 = 1/6 \approx 16{,}7\ %$. Le joueur calcule alors sa probabilité théorique d’améliorer sa main pour gagner (les “outts”). S’il a un tirage couleur à trèfle à la dernière carte, il a environ $19\ %$ de chances de toucher sa couleur.

Si la probabilité de gagner ($19\ %$) est supérieure à la cote du pot ($16{,}7\ %$), la mise a une espérance mathématique positive : le joueur doit payer.
Dans le cas contraire, le coup est perdant sur le long terme : le joueur doit se coucher.

Attention : Ce sujet n'est qu'un exemple !

Probabilités au poker et tirage de cartes