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Les mathématiques dans les jeux de hasard : espérance et illusion des martingales
Les mathématiques dans les jeux de hasard : espérance et illusion des martingales
Problématique
Comment les notions d’espérance mathématique, de probabilités conditionnelles et de suites géométriques permettent-elles de modéliser les gains d’un joueur à la roulette européenne, et pourquoi les martingales échouent-elles à inverser l’avantage mathématique du casino ?
Introduction
Depuis que les jeux d’argent existent, les joueurs ont cherché des méthodes scientifiques, des astuces ou des formules magiques pour forcer la chance et s’assurer des gains réguliers. Historiquement, c’est d’ailleurs en tentant de résoudre un problème de jeu de dés pour un ami joueur que le mathématicien Blaise Pascal a jeté, au XVIIe siècle, les bases de la théorie des probabilités.
Parmi tous les jeux de casino, la roulette européenne est sans doute l’un des plus emblématiques. Face à ce jeu de hasard pur, de nombreux joueurs appliquent des techniques de mise appelées « martingales » pour tenter de contourner le hasard. En apparence logiques, ces méthodes promettent un gain certain grâce à une simple progression géométrique.
Dès lors, nous pouvons nous poser la question suivante : Comment les notions d’espérance mathématique, de probabilités conditionnelles et de suites géométriques permettent-elles de modéliser les gains d’un joueur à la roulette européenne, et pourquoi les martingales échouent-elles à inverser l’avantage mathématique du casino ?
Pour y répondre, nous étudierons dans un premier temps la modélisation probabiliste d’une mise simple à la roulette et le calcul de son espérance. Dans un second temps, nous analyserons le principe de la martingale classique à l’aide des suites géométriques. Enfin, nous démontrerons les limites arithmétiques et réelles qui rendent ces martingales inopérantes sur le long terme.
I. Modélisation probabiliste : L’espérance de la mise simple à la roulette
A. Le fonctionnement de la roulette européenne
La roulette européenne est composée de 37 cases numérotées de $0$ à $36$ :
- 18 cases rouges.
- 18 cases noires.
- 1 case verte, le $0$ (qui représente l’avantage de la banque).
Nous étudions ici la mise la plus courante, appelée « mise simple » : parier $1$€ sur une couleur (par exemple, le rouge). Si le rouge sort, le joueur récupère sa mise et gagne $1$€ de plus (gain net de $+1$€). Si le noir sort, il perd sa mise (gain net de $-1$€).
B. Le cas du zéro et la règle du partage (probabilités conditionnelles)
Dans la plupart des casinos français, lorsque le $0$ sort, la mise n’est pas immédiatement perdue mais est placée « en prison » jusqu’au coup suivant.
- Si, au tirage suivant, la couleur choisie par le joueur (le rouge) sort, il récupère sa mise initiale sans gain supplémentaire (gain net de $0$€).
- Si le noir ou le $0$ sort, la mise est définitivement perdue (gain net de $-1$€).
Calculons la loi de probabilité du gain net $X$ du joueur pour une mise de $1$€ sous cette règle :
- Sortie directe du rouge : Gain net de $+1$€, avec une probabilité de : $$P(X = 1) = \frac{18}{37}$$
- Sortie directe du noir : Gain net de $-1$€, avec une probabilité de : $$P(X = -1\text{ direct}) = \frac{18}{37}$$
- Sortie du zéro : Probabilité de $\frac{1}{37}$. Au tirage suivant (indépendant du premier) :
- Si le rouge sort, le joueur récupère sa mise (gain net $0$€) : $$P(X = 0) = \frac{1}{37} \times \frac{18}{37} = \frac{18}{1369}$$
- Si le noir ou le $0$ sort, le joueur perd sa mise (gain net $-1$€) : $$P(X = -1\text{ après prison}) = \frac{1}{37} \times \frac{19}{37} = \frac{19}{1369}$$
La probabilité totale d’avoir un gain net de $-1$€ est donc :
$$P(X = -1) = \frac{18}{37} + \frac{19}{1369} = \frac{666 + 19}{1369} = \frac{685}{1369}$$
C. Calcul de l’espérance mathématique
L’espérance mathématique de gain $E(X)$ pour ce jeu s’écrit :
$$E(X) = 1 \times P(X = 1) + (-1) \times P(X = -1) + 0 \times P(X = 0)$$
$$E(X) = 1 \times \frac{666}{1369} - 1 \times \frac{685}{1369} + 0 = -\frac{19}{1369} \approx -0{,}0139\text{ €}$$
Ce résultat signifie qu’en moyenne, à chaque fois qu’un joueur mise $1$€ sur une couleur à la roulette avec partage, il perd environ $1,39$ centime d’euro. Le casino prélève donc en moyenne $1,39\ %$ des sommes misées. L’espérance étant négative, le jeu est structurellement défavorable au joueur sur le long terme (loi des grands nombres).
II. La martingale classique (ou martingale géométrique) : L’illusion de la fortune
A. Le principe de la martingale de Hawks
Puisque l’espérance sur un coup est négative, les joueurs tentent de modifier la taille de leurs mises d’un coup sur l’autre pour forcer un gain. La martingale classique consiste à :
- Miser la somme minimale ($1$€) sur une couleur.
- Si on gagne, on empoche le gain de $+1$€ et on recommence une nouvelle série en remisant $1$€.
- Si on perd, on double la mise au coup suivant ($2$€, puis $4$€, puis $8$€…) sur la même couleur, et on continue ainsi jusqu’à ce que l’on gagne.
Dès que la couleur choisie sort, toutes les pertes précédentes sont comblées et le joueur réalise un gain net de $1$€.
B. Modélisation par les suites géométriques
La suite des mises successives $(U_n)$ au cours d’une série de pertes est une suite géométrique de premier terme $U_0 = 1$ (mise initiale) et de raison $q = 2$ :
$$U_n = 2^n\text{ €}$$
Si le joueur perd $N$ fois de suite (du coup d’indice $0$ au coup d’indice $N-1$), la somme totale $S_N$ de ses pertes accumulées s’exprime par la formule de la somme des termes d’une suite géométrique :
$$S_N = \sum_{n=0}^{N-1} U_n = U_0 \times \frac{1 - q^N}{1 - q} = 1 \times \frac{1 - 2^N}{1 - 2} = 2^N - 1\text{ €}$$
Au coup suivant (le $(N+1)$-ème coup, d’indice $N$), le joueur mise $U_N = 2^N$€. S’il gagne enfin à ce coup, il récupère sa mise et gagne une somme égale à sa mise ($2^N$€). Son gain net $G$ s’écrit alors :
$$G = \text{Mise gagnée} - \text{Pertes cumulées} = 2^N - S_N = 2^N - (2^N - 1) = 1\text{ €}$$
En théorie, si le joueur disposait d’une fortune infinie et pouvait jouer un nombre infini de coups, la probabilité d’avoir au moins un gain tendrait vers 1. Le joueur serait assuré de gagner $1$€ par série.
III. Les limites réelles et arithmétiques du système
En pratique, la martingale est inapplicable et ne permet pas d’avoir une espérance positive, pour trois raisons fondamentales :
A. La croissance exponentielle des mises
La croissance d’une suite géométrique de raison 2 est extrêmement rapide.
- Après seulement 7 pertes consécutives, la mise minimale de $1$€ exige de miser au 8ème coup la somme de $2^7 = 128$€ (pour un total cumulé de $127$€ de pertes), le tout pour espérer gagner seulement $1$€ net.
- Si le joueur subissait une série noire de 43 pertes de suite (ce qui correspond à la plus longue série consécutive de même couleur jamais enregistrée dans un casino), il devrait miser pour le coup suivant : $$2^{43} \approx 8,796\text{ milliards d’euros}$$ Soit environ 100 fois le produit intérieur brut (PIB) mondial.
B. Le plafond de mise des casinos
Pour contrer les martingales, tous les casinos fixent une limite de mise maximale pour chaque table (généralement 100 fois la mise minimale, soit $100$€ pour une table à $1$€). Si le joueur perd 7 fois de suite, la mise nécessaire pour le 8ème coup ($128$€) dépasse la limite autorisée. Le joueur ne peut plus doubler : la martingale est bloquée, et le joueur enregistre une perte sèche et définitive de $127$€, sans possibilité de se refaire.
C. L’espérance mathématique reste négative
Calculons l’espérance de gain d’un joueur appliquant cette martingale limitée à un maximum de 7 coups (en considérant pour simplifier que la probabilité de perdre un coup est $p = \frac{19}{37} \approx 0{,}5135$, c’est-à-dire que le 0 fait perdre) :
- Probabilité de perdre les 7 coups de suite : $$P_{\text{défaite}} = p^7 = \left(\frac{19}{37}\right)^7 \approx 0{,}0094\ (0{,}94\ %)$$ En cas de défaite, le joueur perd le cumul de ses mises, soit $-127$€.
- Probabilité de gagner avant le 8ème coup : $$P_{\text{victoire}} = 1 - p^7 \approx 0{,}9906\ (99{,}06\ %)$$ En cas de victoire, le gain net est de $+1$€.
L’espérance mathématique de la martingale $E(M)$ est :
$$E(M) = 1 \times P_{\text{victoire}} + (-127) \times P_{\text{défaite}}$$
$$E(M) = 1 \times 0{,}9906 - 127 \times 0{,}0094 \approx 0{,}9906 - 1{,}1938 = -0{,}2032\text{ €}$$
L’espérance de la martingale reste strictement négative. La martingale ne change pas l’avantage de la banque, elle décale simplement le risque : elle permet de faire de nombreux petits gains fréquents au prix d’une perte totale extrêmement lourde mais rare.
Conclusion
En conclusion, la roulette européenne illustre parfaitement la rigueur des lois de l’arithmétique et des probabilités. L’espérance mathématique d’une mise simple y est irrémédiablement négative ($-1,39\ %$), garantissant le prélèvement du casino sur le long terme en vertu de la loi des grands nombres. Les martingales, bien que séduisantes par leur progression géométrique théorique, s’effondrent face à la réalité de la croissance exponentielle des mises et des plafonds de table.
Cependant, les mathématiques permettent de s’en sortir dans d’autres types de jeux. Au Blackjack ou au Poker, les tirages successifs ne sont pas indépendants (les cartes distribuées modifient la composition du sabot restant). Dans ces jeux de hasard raisonné, l’application de probabilités conditionnelles dynamiques (comme le comptage de cartes) permet réellement aux joueurs d’obtenir une espérance positive et d’inverser le rapport de force avec le casino.
Questions potentielles du jury
1. Pourquoi le chiffre $0$ à la roulette est-il considéré comme « l’arme secrète » du casino ?
Sans la présence du $0$ vert, la roulette ne comporterait que 36 cases (18 rouges et 18 noires). La probabilité de gagner sur une couleur serait de $\frac{18}{36} = \frac{1}{2}$, et celle de perdre de $\frac{1}{2}$. L’espérance de gain d’une mise de $1$€ serait alors : $$E = 1 \times \frac{1}{2} + (-1) \times \frac{1}{2} = 0\text{ €}$$ Le jeu serait mathématiquement équitable. C’est l’introduction de cette 37ème case neutre (le $0$) qui fait basculer la probabilité de gain sous la barre des $50\ %$ ($\frac{18}{37} \approx 48{,}65\ %$), créant une espérance négative pour les joueurs et assurant le modèle économique bénéficiaire du casino.
2. Comment démontre-t-on la formule de la somme des termes d’une suite géométrique $S_N = \frac{1-q^N}{1-q}$ ?
Soit $S_N = 1 + q + q^2 + \dots + q^{N-1}$. Multiplions cette expression par la raison $q$ : $$q \cdot S_N = q + q^2 + q^3 + \dots + q^N$$ Soustrayons membre à membre la seconde égalité à la première : $$S_N - q \cdot S_N = (1 + q + \dots + q^{N-1}) - (q + q^2 + \dots + q^N)$$ Tous les termes intermédiaires s’annulent (simplification télescopique) : $$S_N \cdot (1 - q) = 1 - q^N$$ Si $q \neq 1$, on peut diviser par $(1-q)$, ce qui nous donne la formule : $$S_N = \frac{1 - q^N}{1 - q}$$
3. Quel est le lien entre la loi des grands nombres et le modèle économique d’un casino ?
La loi des grands nombres stipule que lorsque l’on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois, la fréquence moyenne des résultats converge vers l’espérance mathématique théorique. Un joueur individuel qui joue 10 fois à la roulette subit une forte variance (il peut gagner ou perdre beaucoup d’argent par chance ou malchance). En revanche, le casino voit défiler des millions de mises chaque année. Grâce à ce volume massif, la fréquence des gains du casino converge de façon extrêmement stable vers son espérance mathématique ($1,39\ %$ ou $2,7\ %$ de toutes les sommes misées), éliminant presque totalement le risque de perte pour la banque et lui assurant un profit régulier.
4. Quelle est la probabilité de voir sortir une série de 10 fois consécutives la couleur rouge à la roulette européenne ?
Les lancers successifs de la roulette étant des événements indépendants, les probabilités se multiplient. La probabilité d’obtenir la couleur rouge sur un coup est $p = \frac{18}{37}$. La probabilité d’obtenir 10 fois de suite la couleur rouge s’écrit : $$P = \left(\frac{18}{37}\right)^{10} \approx (0{,}48648)^{10} \approx 0{,}00073$$ Soit environ $0,073\ %$ de chance (soit environ 1 chance sur 1370 séries de 10 lancers). C’est un événement rare sur une petite série, mais statistiquement certain de se produire au cours d’une journée d’ouverture où la roulette tourne des milliers de fois.
5. Qu’est-ce que le paradoxe de Saint-Pétersbourg et quel est son lien avec les martingales ?
C’est un paradoxe de théorie des jeux formulé par Daniel Bernoulli au XVIIIe siècle. Un casino propose un jeu où l’on lance une pièce de monnaie. Si face sort au premier coup, on gagne $2$€, s’il sort au second, on gagne $4$€, au troisième $8$€, et ainsi de suite (le gain double à chaque lancer supplémentaire). Le jeu s’arrête dès que pile sort. Calculons l’espérance de gain de ce jeu : $$E = \sum_{n=1}^{\infty} 2^n \times \frac{1}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} 1 = 1 + 1 + 1 + \dots = \infty$$ L’espérance de gain est infinie. Pourtant, personne ne serait prêt à payer une somme exorbitante (comme $10,000$€) pour y jouer, car la probabilité d’obtenir un gain modeste est énorme ($50\ %$ de chance de gagner seulement $2$€). Ce paradoxe a conduit à l’introduction du concept d’« utilité espérée », montrant que la valeur subjective d’un gain diminue à mesure que la somme augmente.