Pi wallis

INTRODUCTION : Le nombre π fait aujourd’hui et depuis 2000 ans avant Jésus Christ, partie intégrante des fondements des maths et en particulier de la géométrie. C’est Archimède, un mathématicien grec qui a démontré en premier les formules du cercle et surtout qu’il existe une même constante qui intervient dans le calcul de la circonférence et du diamètre. C’est d’ailleurs pour ça que π se nomme aussi la constante d’Archimède. De même, ce nombre pose un problème depuis toujours : il est irrationnel, ce qui veut dire qu’il ne peut s’écrire sous forme décimale. Il s’écrit avec un nombre infini de décimales sans aucune suite logique, ce qui rend impossible de calculer sa valeur exacte. Pour rappel, une valeur exacte est une quantité ou un nombre qui est représenté de manière précise, sans approximation ni arrondi. Au cours de l’Histoire, la valeur approchée de π a souvent évolué, et elle s’est de plus en plus précisée par diverses méthodes de calcul. Mais alors quelle était la meilleure façon d’approcher π avant l’ère informatique ? Pour répondre à cette problématique, je vous propose tout d’abord d’aborder la méthode d’Archimède pour parvenir à cette constante. Ensuite je vous présente la solution de Buffon qu’il a établie en 1733. Pour finir mon oral je vais m’appuyer sur une démarche calculatoire, celle de Wallis. D’après mes recherches, il existe en effet plusieurs façons de déterminer une valeur approchée de π. Certaines sont plus rapides, d’autres plus précises. Mais la toute première méthode de déterminer π que j’ai choisis est bien entendu celle d’Archimède. Il suffisait de tracer un cercle, et de mesurer le périmètre de ce cercle avec le plus de précision possible. Ceci consiste à approcher le périmètre de ce même cercle par celui de polygones inscrits et exinscrits ayant de plus en plus de côtés. On détermine ensuite le diamètre de ce cercle, puis on utilise la formule de la circonférence selon laquelle la circonférence est égale au produit de π et du diamètre (C = π x d). On peut ainsi en déduire que π est égal au quotient de la circonférence par le diamètre. Ainsi Archimède a poussé ses calculs jusqu’à arriver à un polygone à 96 côtés, ce qui lui a permis d’obtenir l’encadrement : 3.1408 ≤π≤ 3.1429. Cependant, cette méthode reste trop peu précise car il faut reproduire l’expérience un trop grand nombre de fois pour préciser une approximation de π. Voici un exemple avec 2 hexagone, mais pour être plus précis comme Archimède, il faudrait faire des polygones avec plus de côtés. INTERVENTION TABLEAU : J’ai cherché une autre méthode pour approcher π et j’ai découvert celle de Buffon, qui repose cette fois-ci sur les probabilités. Buffon a observé que, en lançant un très grand nombre d’aiguilles sur un parquet, il était possible d’obtenir une approximation de π. Pour ce faire, il est nécessaire d’utiliser des aiguilles dont la longueur est égale à la moitié de la largeur des lattes du parquet. La probabilité qu’une aiguille coupe le bord d’une latte est alors reliée à π par la relation suivante : INTERVENTION TABLEAU : P = 2L / πD où P est la probabilité que l’aiguille coupe une latte, L est la longueur de l’aiguille et D est la distance entre les lattes. Ainsi, en répétant l’expérience un grand nombre de fois, on obtient une approximation de π qui, selon Buffon, est plus précise que celle obtenue par la méthode d’Archimède. Par exemple, une expérience bien menée peut donner une estimation de π égale à 3,14156. Cependant, cette méthode repose toujours sur des variables aléatoires, ce qui introduit un certain degré d’incertitude. Pour obtenir une approximation plus fiable de π, il est nécessaire de se tourner vers des méthodes purement calculatoires, basées sur des séries infinies ou des formules géométriques. Ces approches permettent de contourner l’aspect empirique et d’accéder à des valeurs plus précises de π. C’est alors qu’interviennent les intégrales de Wallis. L’intérêt de cette méthode réside dans le fait qu’elle permet d’exprimer π sous la forme d’un produit infini. C’est le premier produit infini connu dans l’histoire des mathématiques lié à π et il est aujourd’hui appelé le produit de Wallis. Bien que π reste irrationnel, cette méthode fournit une expression qui, par sa structure rationnelle, permet d’obtenir des approximations de plus en plus précises en augmentant le nombre de termes du produit. Une intégrale est l’aire exprimée en unités d’aire du domaine d’un plan situé entre : la courbe représentative d’une fonction, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=a et x=b qui sont les bornes de l’intégrale. Ici je vous montre un exemple quelconque d’une intégrale où la fonction sinus est représentée. Ici, les intégrales de Wallis sont une suite numérique notée Wn en hommage à Wallis qui est définie pour tout n appartenant aux entiers naturels par l’intégrale de 0 à π/2 sin de t à la puissance n dt. On peut évaluer les premières valeurs de cette suite. INTERVENTION TABLEAU : On définit ainsi la suite (Wn) par les termes : W₀ = π/2, W₁ = 1, W₂ = π/4 et W₃ = 2/3. La suite semble décroissante. Cette démonstration permet de renforcer la rigueur de la méthode et d’avancer vers une détermination plus précise de π en s’appuyant sur les propriétés des suites infinies. Sur l’intervalle [0 ; π/2], le sinus est toujours positif, donc en faisant (Wn+1)-Wn on trouve que Wn est une suite décroissante composée de termes tous positifs et minorée par 0. Ainsi, à l’aide du théorème de la limite monotone on peut dire que la suite Wn est une suite convergente. Des étapes intermédiaires et en particulier une intégration par parties qui permet de trouver des primitives de fonctions sous la forme d’un produit permettent par la suite de déterminer une relation de récurrence entre Wn+2 et Wn. On obtient finalement que Wn+2 est égal à (n+1) / (n+2) * Wn. Cette relation de récurrence entre 2 termes non consécutifs nous conduit à étudier la parité de n qui permettra donc d’établir les expressions des intégrales de Wallis. INTERVENTION TABLEAU : Enfin, puisqu’on a prouvé que la suite est décroissante, alors Wn+2 est plus petit que Wn+1 qui est plus petit que Wn. Et lorsqu’on divise cet encadrement par Wn, on constate que Wn+1/Wn est majorée par 1 et minorée par Wn+2/Wn qui vaut (n+1) / (n+2). Et la limite de (n+1) / (n+2) lorsque n tend vers + l’infini vaut 1. Ainsi, d’après le théorème des gendarmes, on en déduit que la limite de Wn+1/Wn vaut 1. Toutes ces caractéristiques sur les intégrales de Wallis permettent donc d’aboutir à la formule de Wallis qu’il a établie en 1655 . Elle correspond au produit infini de 4p²/(4p²-1) qui est égal à π/2. Cette formule est cette fois-ci extrêmement puissante puisque pour p=10 on obtient une valeur approchée de π/2 et donc en multipliant par 2 on obtient déjà les 6 premières décimales exactes de π= 3.141592 . On vient alors de calculer une approximation de π a l’aide d’une méthode qui ne fait pas appel à des expériences, ce qui supprime le facteur d’imprécision. CONCLUSION : Les scientifiques ont alors tous leur façon de déterminer π, à mon tour, j’ai essayé de calculer cette valeur en me situant à une époque où les calculatrices modernes et les ordinateurs n’existaient pas. Puisque avant l’ère informatique, les mathématiciens faisaient la course aux décimales de π afin d’en déterminer le plus possible. En 1949, on connaissait 2037 décimales de π tandis qu’aujourd’hui, grâce à la révolution informatique et à des algorithmes, on est parvenus à calculer 13 300 milliards décimales de π. Je vous remercie de m’avoir écouté . (LECTURE = 9 min)