Pardoxes Achille et Monthy Hall

Comment résoudre un paradoxe tel que celui d’Achille et la tortue à l’aide des mathématiques ? En 1982, Martin Gartner publie Gotcha, un recueil de paradoxes mathématiques recueillant plusieurs des plus grands paradoxes mathématiques tels que les paradoxes de Zénon ou celui de l’hôtel de Hilbert, un paradoxe montrant qu’il est possible de remplir un hôtel ayant un nombre de chambres infini. Parmi les paradoxes de Zenon nous nous intéresserons en profondeur au paradoxe d’Achille et la tortue. Mais nous allons tout d’abord définir ce qu’est un paradoxe en mathématiques tout du moins, les paradoxes en mathématiques sont donc des propositions dont la solution ou résolutions va à l’encontre des certitudes logiques ou de la vraisemblance, ainsi un paradoxe est défini par sa résolution contre intuitive. Parmis la multitude de paradoxes existants et comme dit précédemment nous allons nous intéresser au paradoxe d’Achille et la tortue faisant partie des 8 paradoxes de Zenon. Commençons par énoncer ce dernier, dans l’antiquité le héros mythologique de la guerre de Troie Achille est invité à faire la course mais pas avec n’importe quelle adversaire puisqu’il s’agit d’une tortue. Pour des raisons inconnues, probablement faute de mieux Achille accepte et fort de ses capacités physiques, donnera même de l’avance à la tortue qui partira donc 100 mètres devant. La course commence et c’est ici que la paradoxe commence, en effet Achille très entrainé se déplace à une vitesse de 10m/s et la tortue entraînée elle aussi avance à la vitesse de 1m/s. En réalité ici la vitesse des deux adversaires importe peu du moment qu’achille est plus rapide que la tortue et qu’il lui laisse de l’avance. Zenon nous dit donc que danx cette situation Achille ne peut pas (tout du moins d’un point de vu mathématiques rattraper la tortue) or dans la réalité, nul besoin de participer à la guerre de Troie pour battre une tortue meme avançant à cette vitesse. Il y a donc ici un paradoxe qui correspond à la définition d’un paradoxe données plus tôt. Il est donc légitime de se demander, comment résoudre un paradoxe tel que celui d’Achille et la tortue à l’aide des mathématiques ? Pour répondre à cette interrogation nous étudierons tout d’abord ce paradoxe plus en détail dans une première partie de l’oral puis par la

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suite nous passerons aux différentes méthodes de résolution de ce dit paradoxe, pour ces méthodes nous passerons d’une résolution graphique, à une simple équation, nous parlerons de physique quantique et nous nous aiderons également des suites. Nous allons donc commencer par présenter le paradoxe en détail. Donc cette présentation prend place dans la situation présentée plus tôt en introduction. Pour rappel vtortue=1m/s et vA=10m/s, et la tortue démarre avec 100m d’avance, or en observant la course Zenon nous explique que le temps que Achille atteigne la position initiale de la tortue cette dernière aura avancée puis une fois la nouvelle postion de la tortue atteinte cette dernière aura encore avancée meme si un peu moins et ainsi de suite, cf schéma. Numériquement parlant, il faudra à Achille 10 secondes pour avaler la distance qui le sépare de la tortue au départ, or pendant ces dix secondes, la tortue aura avancée de 10m. Pour parcourir cette distance il faudra à Achille 1 secondes, là ou la tortue aura parcourue 1m, Achille est donc toujours derrière. Ce nouvel ecart est ici avalé très rapidement puisque l’on passe sur une nouvelle échelle de temps car il faut au héros 0,1 secondes pour rattraper cette tortue, or une nouvelle fois cette dernière avance pendant ce temps de 0,1 metre. Et on peut poursuivre ce raisonnement à l’infini avec des valeurs extrêmement petites. Voilà les premières étapes résumées dans un tableau pour plus de clarté. _______. En ne regardant que le temps dans cette situation, cette variable peut don etre représentée par une somme infinie de termes qui est donc: T=10+1+0.1+0.01+0.001+…, intuitivement nous serions tentés de penser que cette somme mène à l’infini et qu’il faudrait donc à Achille un temps infini pour rattraper la tortue autrement dit qu’il ne la rattraperait pas. Cependant nous savons vous comme moi que la tortue bien que courageuse ne sortira pas victorieuse de cette course. Alors cette observation nous fait nous demander si cette somme citée plus tôt est réellement infinie. Il y a donc ici deux cas possibles pour cette somme, soit cette somme est réellement égale à l’infini et on pourrait avec

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cette dernière dépasser n’importe quel seuil même si pour ce faire il faudrait un temps très important. À l’inverse, on peut penser que les chiffres ajoutés étant tellement insignifiants, cette somme finirait par atteindre une valeur pour laquelle elle stagnerait. En réalité ces deux affirmations sont possibles et envisageables. Rajouter du texte ici si besoin . La résolution de ce paradoxe repose donc sur cette question de la convergence ou non de cette somme. Pour trouver la solution à ce questionnement, il existe de nombreuses méthodes différentes et nous allons en voir une ici. Cette méthode est liée aux suites, ici nous revenons aux valeurs initiales des vitesses choisies, c’est à dire vtortue=0,1m/s et vA=10m/s, avec 100m d’avance, la vitesse de la tortue est donc 100 fois inférieure. À chaque étape la tortue parcours une distance 100 fois inférieure à celle parcourue par Achille, notons tn le temps écoulé à la n ieme étape de la course et on obtient donc la suite, tn=10+10/100+10/1002+… +10/100n-1 tn est donc la somme des n premiers termes d’une suite géométrique de raison 1/100et de premier terme u1=10. On obtient donc tn=10x (1-1/100n)/(1-1/100) = 1000/99(1-1/100n) Or 1/100n=1n/100**n=(1/100)n Et -1<1/100<1 donc lim 1/100n=0 D’où lim tn=1000/99 x 1= environ 10,101 Donc la suite est convergente en un réel qui vaut à peu près 10 ce qui est en accord avec les résultats des autres méthodes en prenant en compte les incertitudes dans les approximations des valeurs. Le deuxième paradoxe auquel nous allons nous intéresser est celui de Monty Hall. La situation prend place dans celle de l’introduction avec le jeu télévisé. Ici il y a une nouvelle fois deux façon de voir le problème, la première apres l’ouverture du présentateur il ne reste 10s pour parcourir 100m 0,1s pour parcourir 1 m que la tortue a fait

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que deux portes, donc 1 chance sur deux de gagner. Le deuxième point de vue vient du fait de penser que l’on ne gagne sanc changer de porte seulement si on avait choisi la bonne au départ soit 1 chance sur trois. Petit indice, c’est celui là le bon. En réalité on remarque que sur un grand nombre de parties il y a plus de chances de gagner si nous changeons de portes. Nous allons maintenant démontrer ce résultat plus rigoureusement. On note G l’évènement “joueur gagne la voiture” et B l’évènement “le joueur avait choisi la porte de la voiture au départ” G et G barre forment une partition de l’univers donc d’après la formule des probas totales P(G)=PB(G)xP(B) + PBbarre(G)xP(Bbarre) =Pb(G)x1/3 + Pbbarre(G)x2/3 Si le joueur décide de ne pas changer se porte, gagne seulement si il avait la bonne au début donc PB(G)=1 et PBbarre(G)=0 D’où P(G)=1/3 Si le joueur décide de changer de porte il gagne si il s’était trompé au debut. Donc PB(G)=0 et PBbarre(G)=0 D’où P(G)= 2/3 On voit donc bien que à l’aide de la formule des probabilités totales le joueur a plus de chances de gagner si il change de porte. Conclusion: résumé des 2 paradoxes et résolution. Les maths nous ont donc aidé à résoudre ces deux paradoxes très différents. Les deux résultats sont utiles, pour Achille et la tortue le résultat qui montre qu’une somme avec un nombre infini de terme peut avoir un résultat fini est utile en maths pour le calcul infinitésimal ou en philosophie où il a permis de remettre en question la nature de l’infini. Celui de monty hall est utile dans toutes les situations qui ressemblent à celles du jeu télévisé ou au balck jack par exemple.

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