Les Paradoxes d’Achille et de Monty Hall : La Rigueur Mathématique face à l’Intuition

Problématique

En quoi les mathématiques permettent-elles de dépasser nos biais cognitifs et de résoudre de manière rigoureuse des paradoxes physiques et probabilistes apparemment insolubles, à travers les exemples d’Achille et la tortue et de Monty Hall ?

Introduction

Notre cerveau est un outil formidable pour appréhender le monde qui nous entoure, mais il présente des faiblesses notables lorsqu’il est confronté à des concepts abstraits comme l’infini ou le hasard. L’intuition humaine, bien que précieuse au quotidien, se heurte souvent à des biais cognitifs majeurs. C’est dans ces zones d’ombre que les mathématiques interviennent, non seulement comme un langage de description, mais comme un véritable outil de déconstruction des illusions de l’esprit.

Pour illustrer cette puissance clarificatrice, nous allons nous intéresser à deux paradoxes célèbres qui défient notre logique immédiate. Le premier est physique et géométrique : le paradoxe d’Achille et la tortue, formulé par le philosophe grec Zénon d’Élée au Ve siècle avant notre ère. Il affirme qu’un coureur rapide ne pourra jamais rattraper un animal lent s’il lui laisse une avance initiale. Le second est probabiliste : le paradoxe de Monty Hall, popularisé au XXe siècle d’après le jeu télévisé américain Let’s Make a Deal. Il montre à quel point notre perception du hasard est erronée lors de choix sous contrainte.

Dès lors, nous pouvons formuler la problématique suivante : En quoi les mathématiques permettent-elles de dépasser nos biais cognitifs et de résoudre de manière rigoureuse des paradoxes physiques et probabilistes apparemment insolubles, à travers les exemples d’Achille et la tortue et de Monty Hall ?

Pour y répondre, nous étudierons dans une première partie le paradoxe d’Achille et la tortue à l’aide des suites géométriques et du concept de limite. Dans une deuxième partie, nous modéliserons le paradoxe de Monty Hall à l’aide des probabilités conditionnelles. Enfin, nous analyserons les biais cognitifs sous-jacents et l’apport épistémologique de ces résolutions.

I. Le paradoxe d’Achille et la tortue : la convergence de l’infini

A. Énoncé du paradoxe et modélisation par les suites

Zénon d’Élée met en scène la course mythique entre Achille, héros légendaire doté d’une vitesse prodigieuse, et une tortue. Pour être équitable, Achille accorde à la tortue une avance de $100\text{ m}$. Posons des valeurs numériques simples pour modéliser cette situation :

Vitesse d’Achille : $v_A = 10\text{ m/s}$
Vitesse de la tortue : $v_T = 1\text{ m/s}$
Avance initiale de la tortue : $d_0 = 100\text{ m}$

Le raisonnement de Zénon est le suivant : pour rattraper la tortue, Achille doit d’abord atteindre le point de départ de celle-ci. Mais pendant qu’il parcourt cette distance, la tortue progresse également. Lorsque Achille arrive au point suivant, la tortue a encore avancé, et ainsi de suite. Zénon conclut qu’Achille ne rattrapera jamais la tortue, car chaque étape nécessite un temps strictement positif, créant une infinité d’étapes.

Décomposons cette course en étapes successives pour calculer la durée $t_n$ de chaque étape $n$ :

Étape 0 : Achille doit parcourir les $d_0 = 100\text{ m}$ initiaux. Le temps requis est : $$t_0 = \frac{d_0}{v_A} = \frac{100}{10} = 10\text{ s}$$ Pendant ces $10\text{ s}$, la tortue avance d’une distance $d_1$ : $$d_1 = v_T \times t_0 = 1 \times 10 = 10\text{ m}$$
Étape 1 : Achille doit parcourir ces $10\text{ m}$. Le temps requis est : $$t_1 = \frac{d_1}{v_A} = \frac{10}{10} = 1\text{ s}$$ Pendant cette seconde, la tortue avance d’une distance $d_2$ : $$d_2 = v_T \times t_1 = 1 \times 1 = 1\text{ m}$$
Étape 2 : Achille doit parcourir ce mètre. Le temps requis est : $$t_2 = \frac{d_2}{v_A} = \frac{1}{10} = 0{,}1\text{ s}$$ Pendant ce temps, la tortue parcourt $d_3 = 0{,}1\text{ m}$.

Par récurrence, nous constatons que la durée de la $n$-ième étape $t_n$ est donnée par la relation : $$t_n = 10 \times \left(\frac{1}{10}\right)^n = 10 \times 0{,}1^n$$

La suite $(t_n)_{n \ge 0}$ est donc une suite géométrique de premier terme $t_0 = 10$ et de raison $q = 0{,}1$.

B. Somme des termes et calcul de la limite

Pour connaître le temps total $S_n$ écoulé au bout de $n+1$ étapes (de l’étape $0$ à l’étape $n$), il faut sommer les termes de cette suite : $$S_n = \sum_{k=0}^{n} t_k = t_0 + t_1 + \dots + t_n$$

En utilisant la formule de la somme des termes d’une suite géométrique, nous avons : $$S_n = t_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = 10 \times \frac{1 - 0{,}1^{n+1}}{1 - 0{,}1}$$ $$S_n = 10 \times \frac{1 - 0{,}1^{n+1}}{0{,}9} = \frac{100}{9} \left(1 - 0{,}1^{n+1}\right)$$

Pour savoir si le temps total nécessaire à Achille pour rattraper la tortue est infini (comme le prétend Zénon) ou fini, nous devons étudier la limite de la suite $(S_n)$ quand $n$ tend vers l’infini. Puisque la raison $q = 0{,}1$ appartient à l’intervalle $]-1 ; 1[$, nous avons : $$\lim_{n \to \infty} 0{,}1^{n+1} = 0$$

Par conséquent : $$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{100}{9} \approx 11{,}11\text{ s}$$

La somme d’une infinité d’intervalles de temps strictement positifs converge vers une valeur finie. Le paradoxe de Zénon est résolu mathématiquement : Achille rattrape la tortue au bout d’un temps fini de $\frac{100}{9}$ secondes.

C. Validation par l’équation horaire du mouvement

Pour confirmer ce résultat, nous pouvons utiliser un modèle physique continu simple. Plaçons-nous dans un repère unidimensionnel où le départ d’Achille correspond à l’origine $x = 0$. Les équations horaires des positions d’Achille ($x_A(t)$) et de la tortue ($x_T(t)$) en fonction du temps $t$ (en secondes) s’écrivent : $$x_A(t) = v_A \cdot t = 10t$$ $$x_T(t) = d_0 + v_T \cdot t = 100 + t$$

Achille rattrape la tortue à l’instant $t_{\text{rencontre}}$ où leurs positions sont identiques : $$x_A(t_{\text{rencontre}}) = x_T(t_{\text{rencontre}}) \implies 10t_{\text{rencontre}} = 100 + t_{\text{rencontre}}$$ $$9t_{\text{rencontre}} = 100 \implies t_{\text{rencontre}} = \frac{100}{9}\text{ s} \approx 11{,}11\text{ s}$$

La distance parcourue par Achille est alors : $$d_{\text{rencontre}} = 10 \times \frac{100}{9} = \frac{1000}{9}\text{ m} \approx 111{,}11\text{ m}$$

L’algèbre moderne confirme de manière simple le résultat obtenu par l’étude des limites de suites.

II. Le paradoxe de Monty Hall : les probabilités conditionnelles à l’épreuve de l’intuition

A. Présentation du dilemme

Le paradoxe de Monty Hall met en scène un joueur face à trois portes fermées. Derrière l’une d’elles se trouve une voiture (le gain souhaité), et derrière les deux autres se trouvent des chèvres (perte).

Le joueur choisit une porte, par exemple la Porte 1. À ce stade, la probabilité de trouver la voiture est de $1/3$, et celle de choisir une chèvre est de $2/3$.
Le présentateur, Monty Hall, qui sait parfaitement ce qui se cache derrière chaque porte, ouvre une autre porte parmi les deux restantes, par exemple la Porte 3, révélant invariablement une chèvre.
Monty Hall propose alors un choix crucial au joueur : rester sur la porte initiale (Porte 1) ou changer pour la porte restante fermée (Porte 2).

L’intuition suggère qu’il reste deux portes fermées, que le passé n’a plus d’importance, et qu’il y a donc une chance sur deux ($50%$) pour que la voiture soit derrière l’une ou l’autre porte. Selon cette intuition, changer de porte ne présente aucun avantage statistique. Cette conclusion est pourtant fausse.

B. Modélisation par la formule des probabilités totales

Démontrons rigoureusement pourquoi changer de porte est la stratégie optimale. Définissons les événements suivants :

$B$ : « Le joueur a initialement choisi la porte cachant la voiture ».
$G$ : « Le joueur gagne la voiture à la fin du jeu ».

Les événements $B$ et $\bar{B}$ forment une partition de l’univers des possibles, avec : $$P(B) = \frac{1}{3} \quad \text{et} \quad P(\bar{B}) = \frac{2}{3}$$

Selon la formule des probabilités totales, la probabilité globale de gagner la voiture est donnée à l’aide de la notation française ($P_{\text{sachant}}(\text{événement})$) : $$P(G) = P_B(G) \cdot P(B) + P_{\bar{B}}(G) \cdot P(\bar{B})$$

Analysons les deux stratégies possibles :

1. Stratégie de maintien (Ne pas changer de porte)

Si le joueur avait choisi la bonne porte au départ (événement $B$), le fait de garder sa porte lui garantit de gagner : $P_B(G) = 1$.
Si le joueur avait choisi une mauvaise porte au départ (événement $\bar{B}$), garder sa porte le fait perdre à coup sûr : $P_{\bar{B}}(G) = 0$.
En appliquant la formule, nous obtenons : $$P(G_{\text{garder}}) = 1 \times \frac{1}{3} + 0 \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$

2. Stratégie de changement (Changer de porte)

Si le joueur avait initialement choisi la bonne porte (événement $B$), les deux autres portes contiennent des chèvres. Le présentateur ouvre l’une d’elles. Si le joueur change de porte, il choisit nécessairement l’autre chèvre et perd : $P_B(G) = 0$.
Si le joueur avait initialement choisi une chèvre (événement $\bar{B}$), la voiture et la deuxième chèvre se trouvent derrière les portes restantes. Le présentateur est contraint d’ouvrir la porte contenant la chèvre restante. La seule porte fermée non choisie contient donc obligatoirement la voiture. En changeant de porte, le joueur gagne à coup sûr : $P_{\bar{B}}(G) = 1$.
En appliquant la formule, nous obtenons : $$P(G_{\text{changer}}) = 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$$

Changer de porte double les chances de victoire, les faisant passer de $1/3$ à $2/3$.

III. Analyse épistémologique et cognitive

A. Pourquoi notre esprit refuse-t-il l’évidence ?

Ces deux paradoxes mettent en lumière des biais cognitifs profondément ancrés dans la psychologie humaine.

Pour Achille et la tortue, le biais est conceptuel. Notre esprit a tendance à confondre un processus comportant un nombre infini d’étapes de subdivision avec une durée infinie. Historiquement, l’absence de concepts formels de limites et de suites convergentes empêchait les philosophes grecs de concevoir qu’une somme infinie puisse avoir une borne supérieure finie. Nous appliquons un raisonnement additif linéaire intuitif là où s’applique une loi géométrique décroissante.

Pour Monty Hall, l’erreur provient du biais de symétrie et de l’incapacité à évaluer les probabilités conditionnelles. Nous pensons à tort que le nombre d’options finales détermine seul la probabilité (2 portes = $50%$ de chances pour chacune). Nous oublions que l’action du présentateur n’est pas fortuite. Le présentateur n’ouvre pas une porte au hasard : il agit avec une intention guidée par l’information qu’il possède. En éliminant délibérément une chèvre, il transfère l’intégralité de la probabilité de perte initiale ($2/3$) sur l’unique porte fermée restante.

Pour mieux le comprendre, imaginons qu’il y ait $100$ portes. Vous en choisissez une ($1%$ de chances d’avoir la voiture). Le présentateur ouvre ensuite $98$ portes révélant des chèvres, n’en laissant qu’une seule fermée en plus de la vôtre. Il est alors évident que la voiture se trouve presque à coup sûr derrière l’autre porte restante ($99%$ de chances). Le principe est exactement le même avec $3$ portes.

B. L’impact de ces résolutions sur la science moderne

La résolution mathématique de ces paradoxes a eu des répercussions majeures dans l’histoire des sciences.

La question de la division infinie de l’espace soulevée par Zénon a contraint les mathématiciens à formaliser l’analyse infinitésimale (Newton, Leibniz) puis la théorie rigoureuse des limites (Cauchy, Weierstrass). En physique moderne, elle résonne avec la physique quantique : si l’espace-temps est discrétisé à l’échelle de Planck ($l_P \approx 1{,}6 \times 10^{-35}\text{ m}$), le paradoxe s’effondre physiquement, car l’espace ne peut plus être divisé à l’infini.
Le paradoxe de Monty Hall illustre la notion d’actualisation de l’information, qui est au cœur des méthodes bayésiennes. L’apprentissage automatique (machine learning), les diagnostics médicaux et la prise de décision en situation d’incertitude reposent tous sur cette règle : une nouvelle observation doit réévaluer nos croyances et nos probabilités a priori.

Conclusion

En conclusion, les paradoxes d’Achille et de Monty Hall illustrent de manière éclatante la fragilité de notre intuition face aux rigueurs de l’analyse et des probabilités. Zénon d’Élée montrait les pièges de l’infiniment petit, résolus grâce à la convergence des suites géométriques. Le jeu de Monty Hall dévoile nos biais cognitifs face au hasard, surmontés par la modélisation rigoureuse des probabilités conditionnelles.

Ces deux exemples nous rappellent que les mathématiques ne sont pas seulement un outil de calcul, mais un instrument d’émancipation intellectuelle. En substituant le calcul rigoureux à l’impression immédiate, elles nous permettent de traverser les apparences pour accéder à une compréhension objective du monde.

Questions Potentielles du Jury

1. Comment prouver la formule de la somme des termes d’une suite géométrique ?

Réponse : Soit $S_n = 1 + q + q^2 + \dots + q^n$ la somme des $n+1$ premiers termes d’une suite géométrique de raison $q \neq 1$. Multiplions cette somme par la raison $q$ : $$q S_n = q + q^2 + q^3 + \dots + q^{n+1}$$

Soustrayons membre à membre la seconde égalité à la première : $$S_n - q S_n = (1 + q + q^2 + \dots + q^n) - (q + q^2 + q^3 + \dots + q^{n+1})$$

En simplifiant les termes identiques qui s’annulent deux à deux, il ne reste que le premier terme de $S_n$ et le dernier terme de $q S_n$ : $$S_n(1 - q) = 1 - q^{n+1}$$

Puisque $q \neq 1$, nous pouvons diviser par $1 - q$ pour obtenir la formule générale : $$S_n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$$

Si le premier terme de la suite est $u_0$, la somme des termes vaut $u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$. Dans le cas d’Achille, avec $u_0 = 10$ et $q = 0{,}1$, nous obtenons bien la relation utilisée dans l’exposé.

2. Quelle est la différence entre une suite convergente et une suite divergente ? Pouvez-vous donner un exemple de suite dont le terme général tend vers 0 mais dont la somme diverge ?

Réponse : Une suite numérique est dite convergente si elle admet une limite réelle finie $L$ lorsque son indice $n$ tend vers l’infini. Si elle n’admet pas de limite, ou si sa limite est infinie, elle est qualifiée de divergente. Pour les sommes infinies (appelées séries), il est tout à fait possible que le terme général $u_n$ tende vers $0$ mais que la somme $S_n = \sum u_k$ diverge vers l’infini. L’exemple de référence est la série harmonique où le terme général est $u_n = \frac{1}{n}$. On a bien : $$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$$ Pourtant, la somme des termes $S_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ diverge vers $+\infty$. Cela montre que le fait que le terme général tende vers 0 est une condition nécessaire pour la convergence d’une somme infinie, mais qu’elle n’est pas suffisante. Dans le cas du paradoxe d’Achille, la suite des durées décroît de manière géométrique (raison $q = 0{,}1$), ce qui assure une décroissance exponentiellement rapide et garantit ainsi la convergence de la somme.

3. Si l’espace et le temps sont quantifiés à l’échelle microscopique, comment cela résout-il le paradoxe d’Achille d’un point de vue physique ?

Réponse : En physique théorique (notamment en gravitation quantique de boucles ou en théorie des cordes), on postule que l’espace-temps n’est pas continu mais discret. Il existerait des limites fondamentales : la longueur de Planck ($l_P \approx 1{,}6 \times 10^{-35}\text{ m}$) et le temps de Planck ($t_P \approx 5{,}4 \times 10^{-44}\text{ s}$), en deçà desquelles on ne peut diviser ni l’espace ni le temps. Si cette hypothèse est exacte, le raisonnement de Zénon d’Élée s’effondre physiquement. On ne peut pas effectuer une infinité d’étapes de subdivision, car on finirait par atteindre une distance de $1\text{ longueur de Planck}$. Cette distance étant indivisible, le mouvement d’Achille ne se ferait plus de manière continue, mais par des transitions discrètes (des “sauts” quantiques d’espace-temps). Achille franchirait cette dernière unité d’espace en un seul instant élémentaire, dépassant la tortue sans avoir à parcourir une infinité de sous-intervalles réels.

4. Dans le paradoxe de Monty Hall, que se passe-t-il si le présentateur ouvre une porte au hasard sans savoir où se trouve la voiture, et révèle par chance une chèvre ? La probabilité de gagner en changeant est-elle toujours de 2/3 ?

Réponse : C’est la variante dite de « Monty Fall ». Si le présentateur ne sait pas où est cachée la voiture, il choisit d’ouvrir au hasard une des deux portes restantes. Il y a alors une probabilité de $1/3$ que le présentateur ouvre la porte de la voiture, mettant fin à la partie immédiatement. S’il ouvre par hasard une porte révélant une chèvre, la probabilité de gagner en changeant n’est plus de $2/3$, mais de $1/2$. En effet, par la formule de Bayes, calculons la probabilité conditionnelle que la voiture soit derrière la porte 2 (la porte restante non choisie) sachant que le présentateur a ouvert la porte 3 et révélé une chèvre (événement $O_3$) : $$P_{O_3}(\text{Voiture en 2}) = \frac{P_{\text{Voiture en 2}}(O_3) \times P(\text{Voiture en 2})}{P(O_3)}$$ Ici, $P(\text{Voiture en 2}) = 1/3$. Le présentateur ouvrant au hasard, il a une chance sur deux d’ouvrir la porte 3 : $P_{\text{Voiture en 2}}(O_3) = 1/2$. De plus, la probabilité globale d’ouvrir la porte 3 et de trouver une chèvre est : $$P(O_3) = P_{\text{Voiture en 1}}(O_3)P(\text{Voiture en 1}) + P_{\text{Voiture en 2}}(O_3)P(\text{Voiture en 2}) + P_{\text{Voiture en 3}}(O_3)P(\text{Voiture en 3})$$ Puisque la voiture ne peut pas être en 3 si le présentateur y révèle une chèvre, le dernier terme est nul. Les deux premiers termes valent $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$. Donc $P(O_3) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$. On obtient : $$P_{O_3}(\text{Voiture en 2}) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{2}$$ L’absence d’intention du présentateur élimine le transfert d’information. Les deux portes restantes ont donc une chance sur deux chacune.

5. Comment ce sujet s’inscrit-il dans votre projet d’orientation professionnelle ?

Réponse : Ce sujet illustre la force de la modélisation mathématique pour appréhender des problèmes réels ou théoriques complexes et nous prémunir contre des décisions biaisées. Je projette de poursuivre mes études dans l’enseignement supérieur scientifique, notamment en classe préparatoire MPSI/MP ou en licence de Mathématiques et Informatique. Mon projet à long terme est d’évoluer dans le domaine de la science des données (Data Science), du traitement statistique de l’information ou de l’Intelligence Artificielle. Ces disciplines reposent fondamentalement sur les statistiques, les probabilités et notamment l’inférence bayésienne (dont le paradoxe de Monty Hall est une illustration frappante). Ce sujet m’a ainsi permis de relier des concepts classiques d’analyse et de probabilité de Terminale à des applications modernes et concrètes de prise de décision algorithmique.

Attention : Ce sujet n'est qu'un exemple !

Les Paradoxes d'Achille et de Monty Hall : La Rigueur Mathématique face à l'Intuition