Nombre d or dans les maths

À retravailler Résolution de l’équation phi²+phi +1 = 0 Les fractales sont des structures géométriques complexes qui se répètent à différentes échelles. Le nombre d’or, en raison de ses propriétés uniques, joue un rôle significatif dans certaines fractales et leur esthétique. Voici quelques points clés sur cette relation : 1. Spirale d’or : Une des applications les plus connues du nombre d’or dans les fractales est la spirale d’or. Cette spirale est construite en ajoutant des quarts de cercle successifs dont les rayons augmentent selon le rapport du nombre d’or. On trouve cette spirale dans la nature, par exemple dans les coquilles de certains mollusques, les galaxies, les cyclones, etc. 2. Triangle d’or : Un triangle isocèle dont les côtés sont dans le ratio du nombre d’or (1 : φ) est appelé triangle d’or. En divisant ce triangle en deux plus petits triangles d’or, on peut générer un motif fractal. Ces triangles peuvent être utilisés pour créer la fractale du “triangle de Penrose”, qui est une structure quasi-fractale basée sur le nombre d’or. 3. Arbre de Pythagore : L’arbre de Pythagore est une fractale qui utilise des carrés pour former une structure ressemblant à un arbre. En ajustant les dimensions des carrés selon le nombre d’or, on peut obtenir une variation esthétique et mathématique intéressante de cette fractale. 4. Flocons de neige de Koch : Bien que le flocon de neige de Koch n’utilise pas directement le nombre d’or, d’autres variantes de cette fractale peuvent être conçues en ajustant les proportions des segments selon le nombre d’or, produisant des formes fractales uniques et harmonieuses. 5. Utilisation en art fractal : Les artistes numériques utilisent souvent le nombre d’or pour créer des œuvres fractales. En ajustant les paramètres de génération fractale selon le nombre d’or, ils obtiennent des compositions visuellement équilibrées et esthétiquement plaisantes La suite de Fibonacci est une séquence infinie d’entiers où chaque nombre est la somme des deux précédents. Elle commence généralement par 0 et 1, donnant ainsi : 0, 1, 1, 2, 3, 5,8, 13, 21, … Mathématiquement, cela peut être défini par les relations de récurrence suivantes : F0=0, F1=1, Fn = Fn-1 + Fn-2 Une autre façon de l’exprimer est avec la formule fermée : Fn = (phi puissance n -(1-phi)puissance n)/racine5 Où phi est le nombre d’or. La relation entre le nombre d’or et la suite de Fibonacci est étonnante et a captivé l’attention des mathématiciens et des artistes depuis sa découverte. Lorsque l’on prend deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci et que l’on divise le plus grand par le plus petit, le résultat s’approche de plus en plus du nombre d’or à mesure que l’on prend des nombres plus grands. On considère donc la séquence de fractions partielles définie par : F0/1, F1/F0, F2/F1, F3/F2…. Où Fn/Fn-1 est la n-ième approximation de phi. Mathématiquement, cela peut être formalisé par les relations de récurrence suivantes : Fn+1 = Fn + Fn-1 et Fn+1/Fn = Fn-1/Fn + 1