Maths surréservation avion loi binomiale

Intro: Cette pratique abusive consiste, par exemple pour une compagnie aérienne, à vendre plus de billets qu’il n’y a de places dans un avion, afin qu’il y ait le moins de sièges vides possibles pour un vol donné. En effet, les professionnels du voyage aérien savent par expérience que tous les détenteurs d’un billet d’avion ne l’utiliseront pas le jour prévu. Par contre, il arrive qu’après une surréservation, le nombre de passagers prêts à embarquer soit supérieur au nombre de places dans l’avion. Dans ce cas, à charge pour la compagnie d’offrir aux clients surnuméraires des compensations, mais le désagrément est bien là ! Dans quelle mesure une compagnie aérienne peut-elle déterminer le nombre de billets d’avion à vendre afin qu’elle puisse le remplir entièrement ? Dans un premier temps nous allons définir ce qu’est une loi binomiale, ensuite nous déterminerons au clair l’inéquation à résoudre. Enfin, on expliquera la méthode de résolution de l’inéquation. Développement: Tout d’abord, nous allons définir ce qu’est une épreuve de Bernoulli. En effet , c’est une expérience aléatoire de paramètre notée p, réel compris entre 0 et 1, qui possède 2 issues possibles: le succès et l’échec. Celle-ci peut être représentée de manière intuitive grâce à un arbre de probabilité à deux branches où l’on peut y inscrire l’événement: succès ou échec, ainsi que sa probabilité associée (cf doc). Dans notre problème, on considère que le succès de l’épreuve de Bernoulli est que le passagers se présente à l’embarquement. De plus, on associe la variable aléatoire X égale à 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec. Par conséquent, la loi de probabilité de X est nommée loi de Bernoulli de paramètre p. Cependant, lorsqu’il y a une répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, on associe le nombre de succès à une variable aléatoire qui suit une loi appelée loi binomiale. En effet, la loi binomiale est définie par les paramètres n correspondant au nombre de fois que l’expérience est répétée et p à la probabilité du succès. Ainsi, on a défini ce qu’était une loi binomiale en revanche, comment peut-on modéliser notre problème à partir de cette loi ? Effectivement, supposons que nous voulons remplir un A380 comportant exactement 516 places et que la probabilité qu’un passager se présente à l’embarquement soit de 95%. Étant donné que l’expérience se répète au moins 516 fois et que la probabilité qu’un passager se présente est toujours identique, on peut affirmer que la variable aléatoire X comptant le nombre de passagers se présentant à l’embarquement suit une loi binomiale de paramètre n et 0.95. Sachant qu’on pratique la surréservation, on souhaite que la probabilité qu’il y ait plus de 516 personnes présentes à l’embarquement soit inférieure à 1%. En conséquence, on cherche le nombre de billets à vendre, soit la plus grande valeur de l’entier naturel n, tel que la probabilité de voir plus de 516 personnes à l’embarquement soit inférieure à 1%. Mathématiquement, on traduit cela par cette inéquation: P(X>516)0.01. Elle est bien belle cette inégalité mais comment résout-on celle-ci ?

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Deux possibilités s’offrent à nous afin de résoudre cette inéquation et de déterminer la plus grande valeur de l’entier naturel n. Tout d’abord, nous pouvons en théorie la résoudre à la main en approchant cette loi binomiale par une loi normale en appliquant le théorème de Moivre-Laplace puisque l’entier naturel n est très grand. Cependant, en pratique c’est un peu compliqué car le théorème de Moivre-Laplace ainsi que la loi normale ne sont pas au programme de Terminale. Donc on est obligé d’utiliser la deuxième méthode de résolution qui est de construire un programme Python permettant de déterminer cette valeur. Pour déterminer la valeur, on introduit différentes fonctions notamment la fonction factoriel permettant de calculer des coefficients binomiaux nécessaires aux calculs de probabilité suivant une loi binomiale. Ensuite, on crée une fonction sur réservation en initialisant à 516 billets. Puis on y insère une boucle “tant que”. En effet, en insérant cette boucle, on peut demander au programme de calculer la probabilité P(X>516) et si elle est inférieure à 0.01, le programme ajoute 1 billet en plus et réitère l’opération jusqu’à que la probabilité dépasse le seuil. En exécutant le programme, on obtient 532 billets d’avion. Conclu: Ainsi, d’après le programme Python, il faut vendre exactement 532 billets d’avions pour être sûr et certain que la probabilité de voir plus de 516 passagers se présenter à l’embarquement soit inférieur à 1%. Cet outil mathématique est très utile et puissant pour les compagnies aériennes afin d’optimiser et maximiser au mieux leur bénéfice.

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