Mathématiques et sport : Modélisation des performances et stratégies d’optimisation

Problématique

Comment les outils probabilistes des probabilités conditionnelles et de la loi binomiale permettent-ils de modéliser l’adresse d’un joueur et d’optimiser les choix stratégiques au basketball ?

Introduction

Bonjour à toutes et à tous. Les mathématiques sont souvent perçues comme une discipline abstraite, confinée aux salles de classe et aux laboratoires de recherche. Pourtant, elles s’immiscent aujourd’hui dans l’un des domaines les plus populaires et compétitifs de notre société : le sport. De la formule 1 au football, en passant par le rugby, les données statistiques et la modélisation mathématique sont devenues des armes indispensables pour analyser le jeu, prévenir les blessures et surtout maximiser les performances des athlètes.

Pratiquant le basketball et passionné par l’analyse statistique du jeu, j’ai souhaité étudier comment les concepts de probabilités de notre programme de Terminale s’appliquent concrètement sur le terrain. Ma problématique est la suivante : Comment les outils probabilistes des probabilités conditionnelles et de la loi binomiale permettent-ils de modéliser l’adresse d’un joueur et d’optimiser les choix stratégiques au basketball ?

Pour y répondre, nous analyserons d’abord un cas pratique d’enchaînement de lancers francs sous l’angle des probabilités conditionnelles. Puis, nous modéliserons une séance d’entraînement de tir à l’aide de la loi binomiale. Enfin, nous conclurons sur l’apport général de la science des données dans le sport de haut niveau.

I. Modélisation de l’adresse par les probabilités conditionnelles (environ 4 min)

Pour comprendre l’application des probabilités dans le jeu, projetons-nous le 11 juin 1997, lors du mythique match 5 des finales NBA opposant les Chicago Bulls aux Utah Jazz. Dans les ultimes secondes de la rencontre, Michael Jordan obtient deux lancers francs décisifs pour sceller la victoire de son équipe. À cet instant, la réussite du joueur n’est pas qu’une question de technique physique, elle dépend d’une chaîne probabiliste complexe.

En basketball, l’enchaînement de deux lancers francs ne peut pas être modélisé comme deux événements indépendants. En effet, la réussite ou l’échec du premier tir influence psychologiquement (confiance, pression) et physiquement la réussite du second.

Posons les événements suivants :

$S_1$ : « Le joueur réussit son premier lancer franc »
$S_2$ : « Le joueur réussit son second lancer franc »

Considérons les statistiques expérimentales de notre joueur. La probabilité historique de réussir le premier lancer franc est $P(S_1) = 0{,}75$ (soit $75\ %$ de réussite). Si le premier lancer est réussi, le joueur est en confiance, ce qui augmente sa probabilité de réussir le second. On note cette probabilité conditionnelle :

$$P_{S_1}(S_2) = 0{,}80$$

À l’inverse, si le premier lancer est manqué, la pression augmente et l’adresse diminue. On note :

$$P_{\overline{S_1}}(S_2) = 0{,}60$$

Où l’événement $\overline{S_1}$ représente l’échec au premier lancer franc, avec $P(\overline{S_1}) = 1 - P(S_1) = 0{,}25$.

Pour calculer la probabilité globale $P(S_2)$ que le joueur réussisse son second lancer franc, nous appliquons la formule des probabilités totales. Le système formé par les événements $S_1$ et $\overline{S_1}$ constitue une partition de l’univers. Ainsi :

$$P(S_2) = P(S_2 \cap S_1) + P(S_2 \cap \overline{S_1})$$

En appliquant la formule des probabilités conditionnelles :

$$P(S_2) = P(S_1) \cdot P_{S_1}(S_2) + P(\overline{S_1}) \cdot P_{\overline{S_1}}(S_2)$$

Substituons les valeurs numériques :

$$P(S_2) = 0{,}75 \cdot 0{,}80 + 0{,}25 \cdot 0{,}60 = 0{,}60 + 0{,}15 = 0{,}75$$

La probabilité de marquer le second lancer est de $0{,}75$.

Calculons maintenant la probabilité que le joueur inscrive les deux paniers, ce qui correspond à l’événement $S_1 \cap S_2$ :

$$P(S_1 \cap S_2) = P(S_1) \cdot P_{S_1}(S_2) = 0{,}75 \cdot 0{,}80 = 0{,}60$$

Il y a donc $60\ %$ de chances que le joueur marque les deux points. Ce calcul montre que l’adresse globale dépend fortement de l’état psychologique induit par le premier tir, mettant en évidence la non-indépendance des événements.

II. Modélisation d’une séance d’entraînement par la loi binomiale (environ 3 min 30s)

Si le comportement en match intègre des facteurs psychologiques perturbant l’indépendance, la modélisation à l’entraînement, dans des conditions stables et répétitives, permet d’appliquer la loi binomiale.

Imaginons qu’un joueur professionnel s’entraîne en effectuant une série de $n = 50$ lancers francs successifs. On suppose que les tirs sont réalisés dans des conditions identiques et indépendantes (le joueur prend le temps de se concentrer entre chaque tir pour effacer l’effet psychologique du tir précédent). La probabilité de réussite de chaque lancer est constante et égale à sa moyenne en carrière, soit $p = 0{,}84$ (la moyenne historique de Michael Jordan).

Définissons la variable aléatoire $X$ égale au nombre de lancers francs réussis sur les $50$ tentatives. Puisque nous répétons $n = 50$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre $p = 0{,}84$, la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 50$ et $p = 0{,}84$. On note :

$$X \sim \mathcal{B}(50; 0{,}84)$$

Le nombre de succès attendu en moyenne (l’espérance mathématique de $X$) est :

$$E(X) = n \cdot p = 50 \cdot 0{,}84 = 42\text{ tirs réussis}$$

Calculons la probabilité que le joueur réussisse exactement ce score de $42$ tirs. D’après le cours de mathématiques :

$$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$

Pour $k = 42$ :

$$P(X = 42) = \binom{50}{42} \cdot (0{,}84)^{42} \cdot (0{,}16)^8$$

Le coefficient binomial $\binom{50}{42} = \binom{50}{8} = 536,878,650$. En effectuant le calcul numérique :

$$P(X = 42) \approx 536,878,650 \cdot 0{,}000676 \cdot 0{,}0000000429 \approx 0{,}156$$

Il y a environ $15{,}6\ %$ de chances que le joueur marque exactement 42 lancers francs.

Si l’on cherche à évaluer sa performance sur une séance en calculant la probabilité qu’il réussisse au moins 45 tirs ($P(X \ge 45)$), nous utilisons le complémentaire :

$$P(X \ge 45) = 1 - P(X \le 44)$$

Grâce aux calculatrices, on trouve $P(X \le 44) \approx 0{,}826$, d’où :

$$P(X \ge 45) \approx 1 - 0{,}826 = 0{,}174 \quad (\text{soit } 17{,}4\ % \text{ de chances})$$

Ces indicateurs permettent au staff technique d’évaluer objectivement l’état de forme du joueur par rapport à ses standards mathématiques.

Conclusion

En conclusion, les outils mathématiques offrent une grille de lecture rationnelle des performances sportives. Les probabilités conditionnelles mettent en lumière la dépendance psychologique et physique lors d’événements successifs comme les lancers francs, tandis que la loi binomiale fournit un modèle de référence pour suivre et valider la régularité d’un athlète à l’entraînement.

Aujourd’hui, cette approche se généralise avec l’usage de la Big Data : les caméras thermiques et les heatmaps analysent les mouvements des joueurs sur le terrain, permettant d’optimiser les schémas tactiques et de maximiser l’efficacité collective.

Concernant mon projet d’orientation, je souhaite m’orienter vers des études de mathématiques appliquées et de science des données. Mon ambition est de travailler comme Data Analyst pour un club professionnel ou une fédération sportive, un métier en pleine expansion où les formules mathématiques se transforment en victoires sur le terrain.

Je vous remercie de votre écoute et je suis disponible pour répondre à vos questions.

Questions Potentielles du Jury

1. Démontrez la formule des probabilités totales utilisée dans votre première partie.

Réponse : Soit un univers $\Omega$. Un ensemble d’événements ${A_1, A_2, \dots, A_n}$ forme une partition de $\Omega$ si et seulement si :

Ils sont deux à deux disjoints : $A_i \cap A_j = \emptyset$ pour tout $i \neq y$.
Leur union forme l’univers entier : $A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n = \Omega$.
Leurs probabilités sont non nulles : $P(A_i) > 0$ pour tout $i$.

Soit un événement $B$ de cet univers $\Omega$. On peut écrire $B$ sous la forme : $$B = B \cap \Omega = B \cap (A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n)$$ Par distributivité de l’intersection sur la réunion : $$B = (B \cap A_1) \cup (B \cap A_2) \cup \dots \cup (B \cap A_n)$$ Puisque les événements $A_i$ sont disjoints deux à deux, les événements $(B \cap A_i)$ le sont également. D’après les axiomes des probabilités, la probabilité de l’union d’événements disjoints est égale à la somme de leurs probabilités : $$P(B) = P(B \cap A_1) + P(B \cap A_2) + \dots + P(B \cap A_n)$$ En appliquant la définition de la probabilité conditionnelle $P(B \cap A_i) = P(A_i) \cdot P_{A_i}(B)$, on obtient la formule des probabilités totales : $$P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i) \cdot P_{A_i}(B)$$ Dans mon exposé, la partition était formée par ${S_1, \overline{S_1}}$, ce qui donne : $P(S_2) = P(S_1) \cdot P_{S_1}(S_2) + P(\overline{S_1}) \cdot P_{\overline{S_1}}(S_2)$.

2. Qu’est-ce que l’effet de la “main chaude” (hot hand) au basketball, et comment les statisticiens l’ont-ils étudié ?

Réponse : L’effet de la “main chaude” est la croyance populaire selon laquelle un joueur qui vient de marquer un ou plusieurs paniers consécutifs a une probabilité plus élevée de marquer le tir suivant. C’est typiquement ce que nous avons modélisé avec les probabilités conditionnelles ($P_{S_1}(S_2) > P_{\overline{S_1}}(S_2)$). Cependant, dans une étude statistique pionnière menée en 1985 par Gilovich, Vallone et Tversky, les auteurs ont analysé des milliers de tirs en match des Philadelphia 76ers. Ils ont calculé la probabilité de réussite d’un joueur sachant ses tirs précédents. Leurs résultats ont montré que la probabilité de marquer après un succès n’était pas statistiquement supérieure à celle après un échec. Pour eux, la “main chaude” est un biais cognitif (illusion des séries) où le cerveau humain cherche des motifs ordonnés dans le hasard. Néanmoins, des études récentes utilisant des données plus précises (incluant la difficulté du tir et la position des défenseurs) suggèrent qu’un effet positif existe légèrement, mais qu’il est souvent compensé par le fait que le joueur prend des tirs plus difficiles lorsqu’il se sent en confiance.

3. Calculez l’écart-type de la variable aléatoire $X \sim \mathcal{B}(50; 0{,}84)$ et donnez sa signification statistique.

Réponse : Pour une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, la variance $V(X)$ est donnée par la formule : $$V(X) = n \cdot p \cdot (1-p)$$ L’écart-type $\sigma(X)$ est la racine carrée de la variance : $$\sigma(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$$ Avec $n = 50$ et $p = 0{,}84$ : $$V(X) = 50 \cdot 0{,}84 \cdot 0{,}16 = 42 \cdot 0{,}16 = 6{,}72$$ $$\sigma(X) = \sqrt{6{,}72} \approx 2{,}59\text{ tirs réussis}$$ L’écart-type mesure la dispersion des valeurs de la variable aléatoire autour de son espérance $E(X) = 42$. En pratique, d’après les propriétés de la loi normale (qui approche la loi binomiale pour de grands échantillons), environ $95\ %$ des résultats de séances d’entraînement se situeront dans l’intervalle $[E(X) - 2\sigma ; E(X) + 2\sigma]$, soit $[42 - 5{,}18 ; 42 + 5{,}18]$, ce qui correspond approximativement à l’intervalle $[37 ; 47]$ tirs réussis. Un score inférieur à 37 lancers réussis révélerait une baisse anormale d’adresse.

4. Quelle est la différence entre une probabilité théorique et une fréquence empirique, et comment sont-elles reliées ?

Réponse :

La probabilité théorique : C’est une valeur fixe calculée à partir d’un modèle mathématique idéal (ex : $p = 0{,}84$ basée sur des hypothèses de régularité absolue de l’athlète).
La fréquence empirique : C’est le rapport du nombre de succès constatés sur le nombre total d’essais réalisés lors d’une expérience concrète (ex : sur un entraînement de $50$ tirs, le joueur en marque $45$, la fréquence empirique est $f = 45/50 = 0{,}90$). Elles sont reliées par la loi des grands nombres : lorsque le nombre de répétitions $n$ de l’expérience tend vers l’infini, la fréquence empirique $f_n$ converge presque sûrement vers la probabilité théorique $p$. Mathématiquement, pour tout réel $\epsilon > 0$ : $$\lim_{n \to \infty} P(|f_n - p| \ge \epsilon) = 0$$

5. Qu’est-ce qu’une “heatmap” en analyse sportive et comment les mathématiques y interviennent-elles ?

Réponse : Une heatmap (carte thermique) est une représentation graphique bidimensionnelle de données où les valeurs sont représentées par des couleurs (les zones d’activité intense apparaissent en rouge/“chaud”, les zones calmes en bleu/“froid”). Au football ou au basketball, elle montre l’occupation spatiale d’un joueur ou les zones de tir privilégiées. Sur le plan mathématique, la heatmap est construite en discrétisant le terrain sous forme de matrice (une grille de pixels). Les coordonnées $(x,y)$ du joueur, captées à haute fréquence (ex : 25 images par seconde par GPS ou caméras), sont comptabilisées dans chaque case. On applique ensuite une fonction de lissage (comme une estimation par noyau de densité gaussien) pour transformer ces points discrets en une surface continue colorée. Cela permet aux entraîneurs de visualiser immédiatement si les consignes de placement tactique sont respectées.

Attention : Ce sujet n'est qu'un exemple !

Maths dans le sport