La loterie de la Draft NBA : le hasard peut-il être modélisé mathématiquement ?

Problématique

Dans quelle mesure les outils mathématiques, comme le calcul combinatoire, les probabilités conditionnelles et les limites de suites, permettent-ils de modéliser la loterie de la NBA et d’en assurer la viabilité ?

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Introduction (~1 min)

Le 16 mai 2023, le destin de la franchise de basketball des Spurs de San Antonio a basculé. Ce jour-là, l’équipe a remporté le premier choix de la Draft NBA, lui permettant de recruter le prodige français Victor Wembanyama. Pour le grand public ou les supporters, on a souvent parlé de “miracle” ou de “coup de chance”. Mais pour un mathématicien, cet événement n’a rien de magique : il est le résultat d’un modèle probabiliste rigoureusement calibré.

La Draft est un système d’allocation des jeunes joueurs conçu pour rééquilibrer le championnat : les équipes les moins bien classées de la saison ont le plus de chances de choisir en premier. Cependant, pour éviter que les équipes ne fassent exprès de perdre pour garantir le premier choix — une stratégie déloyale appelée le tanking — la NBA utilise depuis des années une loterie mathématique pour attribuer les quatre premiers choix de manière aléatoire pondérée.

Nous pouvons alors nous poser la problématique suivante : Dans quelle mesure les outils mathématiques, comme le calcul combinatoire et les probabilités conditionnelles, permettent-ils de modéliser la loterie de la NBA et d’en assurer la viabilité ?

Pour y répondre, nous analyserons d’abord la construction combinatoire de ce tirage, puis nous verrons comment la formule des probabilités totales permet de calculer les chances d’une équipe de manière dynamique. Enfin, nous démontrerons, grâce aux limites de suites, pourquoi cette loterie ne peut pas s’éterniser indéfiniment.

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PARTIE 1 — Le calcul combinatoire, ou l’art de répartir la chance (~3 min)

Entrons d’abord dans les coulisses de ce tirage télévisé. Le mécanisme physique de la NBA est simple en apparence : on place 14 boules numérotées de 1 à 14 dans un boulier, et on en tire 4 successivement, sans remise.

Mathématiquement, puisque l’ordre dans lequel les boules sortent n’a aucune importance (le tirage {1,2,3,4} est identique au tirage {4,3,2,1}), l’ensemble des résultats possibles correspond au concept de combinaison.

Pour calculer le nombre total de tirages uniques possibles, on utilise le coefficient binomial, noté $\binom{14}{4}$. Le calcul se développe ainsi : $$ \binom{14}{4} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1001 $$ Il existe donc très exactement 1001 combinaisons de 4 numéros possibles.

C’est ici que la NBA intervient avec sa règle de répartition des chances. Afin de simplifier les statistiques pour le public, la ligue décide de n’attribuer que 1000 combinaisons aux 14 équipes qui ont raté les Play-offs. Plus une équipe a été mauvaise pendant la saison, plus elle reçoit de combinaisons. En 2023, les trois pires équipes du championnat, dont San Antonio, ont reçu le maximum légal : 140 combinaisons chacune.

La 1001ème combinaison, qui se trouve être la séquence $\{11, 12, 13, 14\}$, n’est tout simplement attribuée à personne. Si elle est tirée par huissier de justice, le tirage est annulé et on recommence. Par conséquent, l’univers de notre expérience aléatoire est restreint à 1000 issues strictement équiprobables. La probabilité pour les Spurs de San Antonio d’obtenir le premier choix était donc triviale à calculer : $$ \frac{140}{1000} = 14% $$

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PARTIE 2 — Les choix secondaires et les probabilités conditionnelles (~3 min)

Déterminer la probabilité d’obtenir le premier choix est à la portée de tous. En revanche, déterminer la probabilité d’obtenir le deuxième choix devient un problème mathématique beaucoup plus complexe. Pourquoi ? Parce que la loterie n’est pas un événement unique : c’est une succession d’épreuves dépendantes. En effet, dès qu’une équipe gagne le premier choix, elle est retirée des tirages suivants, et toutes ses combinaisons restantes (par exemple ses 140 combinaisons) deviennent caduques et devront être ignorées si elles sont tirées à nouveau.

Pour modéliser la probabilité d’obtenir le deuxième choix, nous devons utiliser les probabilités conditionnelles et la formule des probabilités totales.

Notons $A_{i,j}$ l’événement : « l’équipe $i$ remporte le choix $j$ ». Nous cherchons la probabilité que les Spurs obtiennent le deuxième choix, soit $P(A_{\text{Spurs}, 2})$. Les événements $A_{i, 1}$ (le gagnant du premier choix) forment ce qu’on appelle un système complet d’événements : l’une des 14 équipes, et une seule, va obligatoirement gagner ce premier choix.

D’après la formule des probabilités totales, nous devons faire la somme des probabilités conditionnelles pondérées sur tous les scénarios possibles du premier tirage : $$ P(A_{\text{Spurs}, 2}) = \sum_{i} P_{A_{i,1}} (A_{\text{Spurs}, 2}) \times P(A_{i,1}) $$

Illustrons cette complexité par deux scénarios extrêmes :

1. Si le premier choix est remporté par les Houston Rockets (qui possèdent eux aussi 140 combinaisons), ces 140 combinaisons sont retirées du marché. Pour le deuxième choix, il ne reste plus que $1000 - 140 = 860$ combinaisons valides. La probabilité conditionnelle pour les Spurs d’obtenir le choix 2 grimpe alors à : $\frac{140}{860} \approx 16,27%$.
2. En revanche, si le premier choix avait été remporté par une équipe un peu mieux classée comme Orlando (qui n’avait que 90 combinaisons), il serait resté $1000 - 90 = 910$ combinaisons valides. La chance des Spurs aurait été diluée : $\frac{140}{910} \approx 15,38%$.

En calculant la moyenne pondérée de tous ces cas de figure pour les 13 autres équipes, les ordinateurs de la NBA obtiennent de manière algorithmique une probabilité finale de 13,42% pour les Spurs d’obtenir le deuxième choix. C’est grâce à cette immense rigueur mathématique que la ligue garantit l’équité de l’événement et sa crédibilité auprès du public.

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PARTIE 3 — La viabilité du système et le spectre de l’infini (~2 min)

Une dernière question très légitime se pose, et elle touche aux mathématiques de l’infini. Nous l’avons vu, si la combinaison $\{11, 12, 13, 14\}$ sort, on refait le tirage. De même, au fur et à mesure de la loterie, si une combinaison appartenant à une équipe déjà tirée sort, on annule et on refait le tirage. Ne court-on pas le risque théorique que la loterie ne s’arrête jamais ?

Regardons les chiffres : lors du tirage du 4ème choix en 2023, il y avait déjà 3 équipes tirées et mises de côté. Cela représentait un total de 266 combinaisons devenues invalides (en incluant la 1001ème combinaison vide). La probabilité $p$ d’effectuer un tirage “invalide” et de devoir relancer le boulier était alors de : $$ p = \frac{266}{1001} \approx 26,57% $$

C’est plus d’une chance sur quatre de rater le tirage ! En supposant les tirages indépendants, la probabilité de rater la cible $n$ fois d’affilée suit une loi géométrique et s’écrit $p^n$. Par conséquent, la probabilité de réussir au moins un tirage valide en $n$ essais est l’événement contraire, soit : $$ P_n = 1 - p^n $$

Cherchons la limite de cette suite géométrique lorsque le nombre de tirages $n$ tend vers l’infini. Comme la raison $p$ est strictement comprise entre 0 et 1 ($-1 < 0,2657 < 1$), nous savons d’après notre cours sur les limites que : $$ \lim_{n \to +\infty} p^n = 0 $$ Par simple soustraction, on obtient donc : $$ \lim_{n \to +\infty} (1 - p^n) = 1 $$

La probabilité que la loterie finisse par trouver un tirage valide tend vers 1, c’est-à-dire vers la certitude absolue. Pour être très concret et rassurer les diffuseurs télévisés : en seulement 5 essais, la probabilité d’avoir enfin un tirage valide au 4ème choix est déjà de $1 - (0,2657)^5 \approx 99,87%$. Les probabilités nous assurent que le tirage en direct ne durera jamais toute la nuit.

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Conclusion (~1 min)

Pour conclure, je trouve fascinant de réaliser qu’un simple tirage de quatre boules numérotées peut décider de l’avenir de l’industrie du sport à l’échelle mondiale, brassant des centaines de millions de dollars.

Mais ce qui est encore plus impressionnant, c’est que la NBA utilise les probabilités comme un véritable outil de gouvernance. En lissant la répartition mathématique des probabilités au fil des années (faisant passer le pire bilan de la ligue de 25% de chances de victoire historique à seulement 14% aujourd’hui), la ligue n’a pas seulement modifié des chiffres : elle a changé la psychologie des dirigeants. Elle a rendu la stratégie de la défaite volontaire mathématiquement moins rentable, prouvant ainsi que les probabilités conditionnelles peuvent préserver l’intégrité et la beauté du sport.

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Questions Potentielles du Jury

1. Pourquoi la formule des combinaisons $\binom{n}{k}$ divise-t-elle par $k!$ (factorielle k) par rapport à celle des arrangements ?

Réponse : La formule des arrangements $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ permet de tirer $k$ objets parmi $n$ en tenant compte de l’ordre. Par exemple, tirer la boule 1 puis la 2 est différent de tirer la 2 puis la 1. Dans la loterie NBA, le moment où la boule sort du boulier n’a pas d’importance, seul l’ensemble des 4 boules sélectionnées compte. Or, pour un ensemble de 4 boules, il existe $4!$ (soit $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$) manières différentes de les ordonner. On divise donc le nombre d’arrangements par $4!$ pour éliminer ces doublons et n’obtenir que les combinaisons uniques.

2. Le “tanking” (perdre volontairement) est-il vraiment découragé par ce passage de 25% à 14% ?

Réponse : Oui, c’est le principe mathématique de l’espérance de gain. Avant 2019, la pire équipe avait 25% de chances (1 chance sur 4) d’avoir le premier choix, ce qui constituait une prime énorme à l’échec. Depuis la réforme, les trois pires équipes ont exactement la même probabilité (14%). Le “coût” sportif et moral de finir absolument dernier plutôt que troisième en partant de la fin n’a plus de sens probabiliste, car l’avantage obtenu est devenu nul. Cela force les équipes à rester compétitives jusqu’à la fin de la saison.

3. Si l’on cherchait à calculer la probabilité de rater 10 tirages de suite, pourquoi utiliserions-nous une loi binomiale plutôt qu’une géométrique ?

Réponse : En réalité, la loi binomiale modélise le nombre de succès parmi $n$ tentatives (par exemple, obtenir exactement 2 tirages ratés sur 10). La loi géométrique modélise le rang d’apparition du premier succès (ou du premier échec) dans une succession d’épreuves indépendantes (par exemple, tirer jusqu’à obtenir une combinaison valide). Pour le risque d’échec continu de la NBA, on calcule simplement l’intersection d’échecs indépendants (qui est le point de départ de la loi géométrique), d’où le $p^n$.

4. Quel est le rôle de la notion d’équiprobabilité dans cette expérience aléatoire ?

Réponse : L’équiprobabilité signifie que chaque combinaison a exactement la même chance d’être tirée (soit $1/1001$). C’est cette propriété fondamentale qui permet à la NBA de répartir les chances proportionnellement en distribuant des “lots” de combinaisons (ex: 140 pour les Spurs). Si les boules avaient des poids légèrement différents ou que le boulier biaisait le tirage, l’équiprobabilité serait rompue, le modèle mathématique entier s’effondrerait, et la répartition des combinaisons ne correspondrait plus aux probabilités annoncées, ruinant l’équité du système.

5. En quoi ce sujet correspond-il à votre projet d’orientation ?

Réponse : (À personnaliser). Ce sujet met en lumière la façon dont les mathématiques, et particulièrement les probabilités et statistiques, sont utilisées dans le monde réel pour optimiser des systèmes complexes (que ce soit dans le sport, la finance, ou la gestion des risques). Souhaitant m’orienter vers des études en économie, en mathématiques appliquées (comme une licence MIASHS) ou vers le domaine de l’actuariat, ce sujet démontre parfaitement comment la modélisation probabiliste permet de prendre des décisions éclairées et de réguler des comportements humains.