Grand 20Oral 20loto 20Mathématiques

Les évènements a probabilité infiniment faible peuvent-ils se réaliser ? (Pourquoi : -prendre du recul sur les phénomènes qui font intervenir les probabilités -correctement interpréter les valeurs) Introduction : Mon sujet porte sur le loto. En effet, nous y avons tous déjà joués en espérant pouvoir gagner le grand prix. Cependant combien d’entre nous ont déjà gagné ? Connaissons-nous vraiment les règles de ce jeu ? Ce qui nous amène à la fameuse question : Les évènements a probabilité infiniment faible peuvent-ils se réaliser ? I- Présentation du loto : Le loto C’est u n tirage qui s’effectue tous les semaines le mercredi et le samedi. Afin de pouvoir jouer, on achète une grille à 2,20 euros. Ensuite sur cette grille, on choisit 5 numéros parmi 49 numéros possibles soit 5 numéros entre 1 et 49 et un numéro « chance » parmi 10 numéros de 1 à 10. Situation d’équiprobabilité, même chance de sortir le numéro 1 que le 9 ou bien le 27. Afin de pouvoir gagner le grand prix qui vaut plusieurs millions (anecdote : le plus grand prix gagné= 2011 ; 24millions), il faut avoir les 5 bons numéro + le numéro chance. On peut calculer assez facilement nos chances de gagner à l’aide de combinaison : Ce qui nous fait approximativement 1 chances sur 2 0 millions si on a les 5 bons numéros + le chance. Cependant les gains s’échelonnent en fonction du nombre de numéros trouvés. 5bons numéros mais pas le bon numéro chance : environ 1 chances sur 2 millions. Et ainsi de suite en fonction du nombre de bons numéros trouvés. Et au final, sachez que près de 17 % des combinaisons sont gagnantes. Espérance : (P1 x X1 + P2 x X2)-2,20 (Encore à compléter) Explication espérance déjà négative juste avec les gains + il faut retirer le prix de 2,20euros, espérance encore plus négative. Mais si l’espérance du jeu est négative, pourquoi les gens continuent de jouer ? Et bien c’est lié à la notion d’utilité : II- Notion d’utilité avec le paradoxe de Saint Petersburg Donc l’utilité de gain, c’est tout simplement notre rapport avec l’argent en fonction de notre situation financière. En effet, tout le monde n’a pas le même rapport avec l’argent. Voici un exemple, Si on vous donne 30 000 000€ , vous allez être content sauf qu’au final, on vous annonce qu’on ne vous donne pas 30 millions mais 31millions, et bien cela ne va pas changer grand-chose pour vous. Ce qui veut donc dire qu’ 1 000 000€ n’a pas la même valeur selon ce qu’on possède déjà . Si vous n’êtes toujours pas convaincu, vous pouvez imaginer un mendiant qui a en sa possession un tiquet de loterie lui permettant de gagner 20000euros avec une probabilité d’une chance sur 2. Et bien la personne va préférer le vendre pour 9 000 euros à une personne ayant les moyens qui pourra se permettre de ne rien gagner ou bien de gagner 20 000euros. C’est pourquoi il faut prendre la notion d’utilité en compte lorsque les gens jouent aux jeux d’argents. Cela a été démontré par le physicien et mathématicien suisse Daniel Bernoulli en 1783 avec le paradoxe de st Pétersbourg . Le paradoxe de Saint Petersburg, il s’illustre par un jeu avec seulement 2 possibilités. Par exemple un jeu avec une pièce de monnaie, en la lançant on fait soit pile soit face. Pour y jouer, il suffit de miser une somme, ensuite si la pièce tombe sur pile, notre somme est doublée cependant , si on tombe sur face on perd notre mise et nos gains s’il y en a eu. Afin d’être sur de gagner à ce jeu-là, à chaque fois que l’on perd, il faut doubler sa mise et toujours sur la même chose soit pile. Vous misez 1euro, c’est pile vous gagnez 2euros et ainsi de suite. Vous misez 1 euro, ca tombe sur face vous perdez. Il faut donc après misez 2euros sur pile. Si vous perdez encore, il faut miser 4 euros sur pile, ensuite 8 euros en cas de perte , 16 , .. . C’est donc le fait de doubler à chaque fois, Bernoulli a montré que sur ce jeu là quand vous doublez à chaque fois que vous perdez et bien vous êtes sûr de gagner à un moment donné. Le problème c’est juste qu’on peut se retrouver à devoir miser beaucoup d’argent pour gagner. Donc il a défini l’utilité du gain puisqu’il s’est demandé pourquoi personne ne jouait à ce jeu là alors qu’on est sûr de gagner. En fait, Bernoulli a déduit que la valeur d’un bien ne se détermine pas par son prix mais plutôt par l’utilité qu’il procure. C’est-à-dire que le prix d’un objet il est bien le même pour tout le monde mais l’utilité dépendra des conditions particulières de chacun. On comprend donc bien le fait que de nombreux joueurs achètent des tickets de loto car ils y trouvent une grande utilité puisqu’en gagnant le gros lot leur vie va complètement changer et très certainement positivement. Pour comprendre ce paradoxe il faut introduire la notion d’aversion au risque. L’aversion au risque c’ est un comportement économique qu’ont souvent l es parieurs ou les joueurs de jeux d’argents. Nous nous expliquons, i ls préfèrent un gain assez sûr à un gain plus important mais aléatoire . P ar exemple: la plus part des gens préfèrent recevoir 3000€ qu’avoir 1 chance sur 2 d’en gagner 6000. Il s’agit d’une fonction d’utilité . Au niveau des gains, elle est supposée concave . Ce tte courbe de satisfaction en fonction du gain augmente de moins en moins vite ex: gagner 50€ satisfaction de 10 et gagner 100€ satisfaction de 18 et pas de 20). On est de plus en plus insensible à une augmentation des gains. Pour les pertes c’est l’inverse, c’est une fonction convexe. On est de plus en plus insensible aux pertes. L ’ e xplication du comportement des joueurs s’explique donc par le paradoxe de Saint-Pétersbourg . Au loto o ù l’espérance de gain est négative, beaucoup de personnes continuent de miser chaque jour. Conclusion : Les gens continuent donc de jouer au loto bien que la probabilité de gagner soit faible et que l’espérance du jeu soit négative. Cela s’explique par l’espoir de gagner et par le concept d’utilité du gain . Si les gens continuent à jouer au loto c’est parce que pour une mise très faible (qui ne va rien changer à leur vie) ils ont une petite chance d’avoir un très gros lot (qui va changer leur vie).  Ouverture : physique antique avec la vulgarisation des probabilités quasi nulle, qu’un électron se trouve entre 2 couches puis se trouve normalement sur les couches car probabilité la plus élevée, probabilité quasi nulle qu’un éléphant rentre dans cette salle mais cela ne reste pas « impossible ».