Comment les mathématiques peuvent elles permettre d augmenter nos chances de gagner aux jeux

Bonjour, Je vais vous parler aujourd’hui de mon sujet portant sur les jeux de hasard. En effet j’ai choisi de répondre à la question : comment les mathématiques peuvent-elles permettre d’augmenter nos chances de gagner aux jeux ? Cette question m’intéresse beaucoup pour plusieurs raisons : J’ai beaucoup aimé le chapitre des probabilités conditionnelles Je souhaite m’orienter dans un parcours maths infos, et la modélisation mathématique de situations de la vie de tous les jours m’intéresse. Un membre de ma famille joue beaucoup aux jeux d’argent, c’est donc un sujet sensible pour moi. Étant donné que ce sujet est vaste de par le nombre de jeux qui existent, j’ai préféré traiter cette question en prenant exemple sur un jeu en particulier : la roulette Nous allons d’abord expliquer le fonctionnement de la roulette, puis calculer l’espérance mathématique de gain avant d’aborder la notion de martingale. 1/ L’exemple de la mise simple à la roulette. Afin de savoir si l’on a plus de chance de gagner ou de perdre à un jeu de hasard, il convient de déterminer l’espérance de gain. Appliquons le à l’exemple de la roulette européenne (18 cases rouges et 18 cases noires numérotées de 1 à 36 et 1 case verte, le 0). Voyons comment miser à la roulette. Il y a deux types de mise : les mises extérieurs et les mises intérieures. Les mises extérieures “couleur” (rouge ou noir) et “parité” (pair ou impair) paient 1 pour 1. Cela veut dire que si vous misez 1€ et que vous gagnez, vous gagnerez 1€. Vous pouvez aussi miser sur des lignes, ces mises paient 2 pour 1. Voyons les mises intérieures. Les mises intérieures offrent des probabilités de gain plus faibles mais des rapports de paiement plus élevés. La mise la plus simple est la mise « en plein ». Il s’agit de miser sur un numéro individuel, une mise de 1 euros peut vous apporter 35 euros. Y a-t-il une stratégie pour maximiser l’espérance à la roulette ? Par souci de temps, j’ai choisi d’étudier le pari qui a la plus de chance de vous rapporter de l’argent, la mise « simple » : c’est à dire miser sur une couleur. Imaginons que vous ayez misé 1 euro sur la couleur rouge. Dans ce cas de figure, trois évènement sont possibles : Un nombre rouge sort. Probabilité = 18/37. Vous gagnez 1 euro Un nombre noir sort. Probabilité = 18/37. Vous perdez 1 euro. Le zéro sort : Probabilité = 1/37. La mise est “emprisonnée” jusqu’au coup suivant. Si la couleur rouge sort vous ne gagnez ni ne perdez rien en revanche si le noir ou le zéro sort votre euro est perdu. Comme les deux tirages successifs sont indépendants, les probabilités se multiplient. Autrement dit, si vous tombez sur le 0, vous avez 18/37² de ne rien gagner, et 19/37² de perdre un euro. On dresse maintenant la loi de probabilité puis on calcule l’espérance mathématique de ce jeu “couleur rouge” : Cela signifie que pour une mise simple d’un euro à la roulette, vous allez perdre en moyenne 0,0139 euros à chaque coup. Cela veut dire que le casino prélève 1,39% des mises sur ce jeu. Comme on peut s’en douter, l’espérance d’un jeu est toujours négative. Mais la roulette est l’un des jeux de hasard les plus “rentables” pour les joueurs (la plupart des loteries ont un taux de prélèvement de 40% à 60%, les machines à sous de 4% à 30% en moyenne). 2/ comment se servir de l’espérance pour trouver des astuces ? L’exemple des martingales Maintenant que nous savons que la mise simple à la roulette est l’un des jeux les moins défavorables pour le joueur, nous allons voir comment encore améliorer cette espérance. Le seul moyen de modifier l’espérance est de jouer plusieurs coups, en modifiant ou non la mise. Les martingales sont des méthodes de jeu bien connues du public et dont le but est en théorie de pouvoir assurer le joueur de ressortir toujours gagnant. Je vais vous présenter ici l’une des martingales les plus connues, la martingale géométrique. Son principe est simple : vous jouez le montant minimum en mise simple (sur une couleur), si vous perdez vous rejouer sur la même couleur mais en doublant votre mise, jusqu’à ce que votre couleur tombe. Si par exemple vous misez 1€ pour commencer, il y a plusieurs possibilités : vous gagnez au premier coup : vous gagnez 2€ donc votre gain net est de 1€ Vous perdez puis vous gagnez au 2nd coup, vous avez donc miser 1+2=3€ et vous gagnez 22=4€ donc votre gain net est de 1€ Vous perdez aux 2 premiers coups et vous gagnez au 3eme, vous avez donc miser 1+2+4 = 7€ et vous gagnez 24 =8€. Votre gain net est de 1€ On voit que le montant de la mise est multiplié par 2 à chaque fois, c’est donc une suite géométrique de raison 2 : Un = 2^n Ainsi si vous gagnez au n ème tour, vous aurez misé Un = (1-2^n) /(1-2) = 2^n-1 € et vous aurez gagné 2^n € Donc, en théorie, si vous pouvez jouer un nombre illimité de fois, vous êtes forcément gagnant de 1€ par série. Et vous reprenez la série à 0 dès que vous gagnez. Seulement il y a plusieurs problèmes : Pour être sûr de l’emporter, vous devez disposer de fonds importants (étant donné que l’on double sa mise à chaque coup perdant), en effet la plus longue série est de 43 boules de suite sur la même couleur ! Le casino, pour limiter cette technique, limite généralement la mise maximum à 100 fois la mise minimum (vous ne pouvez donc perdre que 7 fois de suite). Conclusion En conclusion, les mathématiques ne peuvent pas changer les probabilités de résultats d’un jeu. Et la plupart des jeux d’argent sont conçus avec une espérance négative pour le joueur. Mais il est possible d’utiliser nous aussi l’espérance avec des techniques particulières, généralement basées sur la répétition de parties, afin d’augmenter nos chances de gain voire même d’avoir une espérance positive ! Seulement les casinos aussi calculent les espérances et limitent au maximum la possibilité des martingales, qui sont parfois interdites, tout comme le comptage de cartes par exemple. Questions : Pourquoi avez vous choisi de parler uniquement de la roulette alors que votre question était plus générale ? Je me suis rendue compte, après mes premières recherches sur la question, que je ne pouvais pas traiter l’intégralité de cette question sur une présentation de 5 mn dans le cadre du Grand Oral. J’ai donc préféré orienter mes recherches sur un exemple précis pour illustrer la réponse. J’aurais dû changer l’intitulé de ma question mais celle ci était déjà déposée. Pouvez nous nous expliquer pourquoi on ne peut miser que 7 fois si la mise maximum et de 100 fois la mise minimum ? La martingale géométrique utilisé pour miser une suite géométrique de premier terme 1 (si la mise minimum est de 1€) et de raison 2. Donc Un = 2^n D’où U6 = 2⁶ = 64 et U7 = 2⁷ = 128 Or U6 correspond au 7eme coup (la suite commence à n= 0). Combien auriez vous miser en tout si vous perdez les 7 fois de suite ? C’est une somme des 7 premiers termes de la suite géométrique Un = 2^n Donc S7 = 1*(1-2⁷)/(1-2) = 127€ Combien auriez vous miser en tout si vous perdez les 43 fois de suite (comme la plus longue série de la même couleur dans un casino) ? C’est une somme des 43 premiers termes de la suite géométrique Un = 2^n Donc S43 = 1*(1-2⁴³)/(1-2) = 8 796 093 022 207 € c’est près née 9000 milliards d’euros ! Quelle est la probabilité de perdre 7 fois de suite à la mise simple couleur ? La proba de perdre 1 fois est 19/37 (on compte que si cela tombe sur 0 on perd afin de simplifier) Donc la proba de perdre n fois est (19/37)^n Donc pour 7 fois : (19/37)⁷ =0,0094159282 soit un peu moins de 1 chance sur 100 Quelle est donc l’espérance dans ce cas là ? E(X) = (19/37)^n * (-127) + (1-(19/37)^n)*1