Chiffrement

En quoi les mathématiques sont-elles indispensables au secret de nos échanges sur internet ? Introduction : Pourquoi j’ai choisi ce sujet : Il mélange maths(option terminale) et informatique (option de première

• voie vers laquelle je m’oriente). Le chiffrement existe depuis plus de 2000 ans. Le code de César est l’une des premières méthodes de chiffrement. Elle était utilisée par l’armée romaine. Elle consiste à décaler les lettres de l’alphabet d’un nombre n. Par exemple, si on prend n=3, le A devient D, le B devient E,… Le système est très simple à décoder car il n’y a que 25 possibilités (alphabet = 26 lettres). Pourtant il a été réutilisé pendant la guerre de sécession ou par l’armée russe en 1915. Plus récemment, on pourrait citer la machine Enigma qui a été utilisée par les allemands durant la seconde guerre mondiale. Chaque lettre est remplacée (ou pas) par une autre lettre. On choisit manuellement les permutations. On l’a compris, à l’origine le chiffrement servait à coder les échanges militaires (souvent des ordres du commandement pour le déploiement des troupes) pour garder un temps d’avance et surprendre l’adversaire. Aujourd’hui, la cryptographie est très présente dans notre quotidien : lors de paiements par carte de crédit, lors du transfert de données par internet et encore et toujours dans le monde militaire. Plan: Principes généraux / Définitions Chiffrement affine Principe du chiffrement asymétrique RSA Conclusion

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Principes généraux / Définitions La cryptographie peut être définie comme une « écriture secrète ». Cependant, la cryptologie se décrit au mieux comme « la connaissance du secret ». Si la cryptographie est la pratique qui écrit les messages secrets, alors la cryptologie est la théorie. Quant au cryptage qui veut dire « rendre secret », c’est le processus qui transforme le texte en clair en texte chiffré. On note E l’algorithme de cryptage, si m est un message, E(m) est le message chiffré. On note D l’algorithme de décryptage donc D(E(m))=m . Si l’algorithme de déchiffrement se déduit facilement de l’algorithme de chiffrement, alors l’algorithme de chiffrement doit être secret. C’est le cas du chiffrement affine que l’on verra dans une 1ere partie, le chiffrement affine. C’est aussi le cas de l’algorithme de chiffrement symétrique AES, où il n’y a qu’une même clé pour le chiffrement et le déchiffrement. Au contraire, s’il est compliqué de déduire l’algorithme de déchiffrement connaissant l’algorithme de chiffrement alors l’algorithme de chiffrement peut être connu de tout le monde. C’est le cas du chiffrement RSA où on utilise une clé publique pour le chiffrement et une clé privée pour le déchiffrement. Dans cet exposé on s’intéresse à la cryptographie. La cryptographie a 2 objectifs : le SECRET et l’AUTHENTIFICATION. Pour ce qui concerne le SECRET, il s’agit d’envoyer(échanger) une information qui doit être connue uniquement du destinataire. Pour l’AUTHENTIFICATION, il s’agit d’assurer l’accès d’un utilisateur autorisé à un système informatique. Chiffrement affine Le but de ce chiffrement est de transmettre un message codé en utilisant un message suffisamment compliqué pour que le décodage le soit encore plus. Ainsi quand on fait circuler une phrase codée, elle n’est pas facilement reconnue. On associe à chaque lettre de l’alphabet un nombre entier compris entre 0 et 25, car il est plus facile de faire des calculs avec des nombres qu’avec des lettres. On ajoute le caractère espace en position 26 : A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 1 3 14 1 5 16 1 7 18 1 9 20 2 1 22 2 3 24 2 5 26

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Principe de chiffrement : On va coder chaque lettre à la suite. x est le nombre associé à la lettre à coder. y est le nombre codé de la lettre. On a alors la lettre codée. y est le reste de la division euclidienne ax+b. Voici la relation de congruence : y ≡ax +b[ 27] Attention : il faut que « a » soit premier avec 27, sinon on peut avoir 2 lettres qui ont le même code. Pour le décodage, 2 solutions :

• Soit on utilise un tableau avec toutes les lettres créé avec la relation de congruence ci-dessus
• Soit on cherche la relation de congruence où x est exprimé en fonction de y. Le chiffrement de César est un chiffrement affine où a vaut 1. Exemple : On veut coder « COUCOU » avec a=4 et b =3. Lettre non codée x y ≡ 4 x+3[ 27] Lettre codée C 2 11 L O 14 5 F U 20 2 B Le mot codé est « LFBLFB » Pour le décodage on va modifier la relation de congruence pour exprimer x en fonction de y : On part de la relation de début 4 x+3≡ y [ 27 ] On peut écrire x ≡7 y +6 [27] (Dans l’exposé on ne dit pas comment on arrive à cette valeur car ça serait trop long. Par contre il faut savoir le faire car ça peut être une question du jury) On peut alors décoder le mot « BON » par exemple : Lettre codée y x ≡7 y +6 [27] Lettre codée H 7 1 B F 5 14 O B 1 13 N On obtient le mot décodé : « BON ».

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Chiffrement RSA RSA = initiales des concepteurs du chiffrement (Rivest, Shamir, Adleman) Chiffrement asymétrique : Une clé publique (connue de tout le monde) et une clé privée (connue seulement par celui qui reçoit le message et doit déchiffrer). Exemple : Alice veut envoyer un message crypté à Bob. Bob dispose d’une clé publique (connue de tout le monde) et d’une clé publique(connue uniquement par Bob). Alice chiffre le message à envoyer avec la clé publique de Bob. Bob décode le message chiffré avec la clé privée qu’il est le seul à posséder. Seule la clé privée peut déchiffrer le message. Le principe repose dans le calcul des clés : La clé publique est créée en multipliant 2 (grands) nombres premiers (distincts) p et q (on appelle N=p q). Pour pouvoir connaitre, la clé privée, il faut connaitre p et q. Or le problème de décomposition d’un entier en facteurs premiers est un problème compliqué. Il est impossible avec des machines très puissantes de casser N (c.a.d retrouver les nombres premiers à partir de n si n a plus de 200 chiffres). Hypothèses N=pq avec p et q premiers distincts et très grands. On choisit un entier naturel c tel que c soit premier avec ( p−1)(q−1) et 1< c< ( p−1)(q−1) . On peut alors déterminer, en connaissant p et q , d tel que c.d≡1(( p−1)(q−1)) et 1< d< ( p−1)(q−1) . La partie publique est N ; c nécessaire pour le cryptage. La partie secrète est p ; q; d nécessaire pour le décryptage Alice Bob Message secret Message codé Message codé Message secret Clé publique Clé privée

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Principe de cryptage RSA x est un entier naturel tel que 0⩽x⩽N −1 C(x) est le reste de reste de la division euclidienne de xC par N . On peut écrire : C(x )≡xC ( pq) et 0⩽C(x )=y⩽N−1 Principe du décryptage RSA D( y ) est le reste de la division euclidienne de y d par N . D( x)≡yd( pq) et 0⩽D( y )⩽N−1 . Or, yd≡(x c )d ( pq) Par démonstration, on prouve que y d ≡x cd ( pq) Donc y d ≡ x ( pq) et 0⩽x⩽N−1 Donc, D( y )=x autrement dit on est retombé sur x, la lettre avant cryptage. Conclusion On a vu que les grands principes de cryptographie reposent sur l’utilisation de nombres premiers :

• Dans le cas du chiffrement affine, il faut que « a » soit premier avec 27, sinon on peut avoir 2 lettres qui ont le même code.
• Dans le cas du chiffrement RSA, c’est le choix de nombres premiers très grands qui assure qu’un ordinateur actuel ne sera pas capable de casser les code. D’autre part, la notion de congruence est indispensable pour démontrer la complémentarité des algorithmes de chiffrement et de déchiffrement. Aujourd’hui en cybersécurité, les chiffrements asymétriques (RSA) et symétriques (AES) sont souvent combinés du fait de leurs atouts respectifs :
• Un chiffrement AES est plus rapide à déchiffrer
• Un chiffrement RSA est plus long à déchiffrer ce qui le rend plus robuste(fiable) Un principe courant actuellement, est de transmettre une clé AES en début de transmission après l’avoir cryptée avec un chiffrement RSA. Ensuite, les nombreux échanges sont cryptés avec le chiffrement AES, ce qui est plus simple et rapide à déchiffrer.

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