Comment approcher le nombre pi avant l’ère informatique ?

Problématique

Comment l’évolution des méthodes d’approximation du nombre $\pi$ avant l’ère informatique reflète-t-elle le passage d’une approche géométrique expérimentale à une formalisation analytique rigoureuse ?

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Introduction

Le nombre $\pi$, défini comme le rapport constant entre la circonférence d’un cercle et son diamètre, fascine l’humanité depuis plus de quatre millénaires. Des Babyloniens aux calculateurs modernes, la quête de ses décimales a rythmé l’histoire des sciences. Cette quête n’est pas une simple curiosité arithmétique : elle a accompagné le développement des concepts les plus fondamentaux des mathématiques.

La nature profonde de $\pi$ pose un défi immense : c’est un nombre irrationnel (démontré par Lambert en 1761), ce qui signifie qu’il ne peut pas s’écrire sous forme de fraction d’entiers, et ses décimales s’enchaînent à l’infini sans motif périodique. C’est également un nombre transcendant (démontré par Lindemann en 1882), ce qui prouve qu’il n’est la racine d’aucune équation polynomiale à coefficients rationnels. Calculer $\pi$ revient donc à devoir appréhender l’infini par des approximations finies.

Dès lors, nous pouvons nous poser la question suivante : Comment l’évolution des méthodes d’approximation du nombre $\pi$ avant l’ère informatique reflète-t-elle le passage d’une approche géométrique expérimentale à une formalisation analytique rigoureuse ?

Pour y répondre, nous analyserons d’abord la méthode historique d’encadrement géométrique d’Archimède. Puis, nous étudierons l’approche probabiliste et statistique de l’aiguille de Buffon. Enfin, nous explorerons la rigueur de l’analyse moderne à travers l’étude des intégrales et du produit infini de Wallis.

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I. L’approche géométrique : la méthode des polygones d’Archimède

A. Principe géométrique de l’encadrement

Au IIIe siècle avant notre ère, le savant grec Archimède de Syracuse conçoit la première méthode rigoureuse pour encadrer $\pi$. L’idée fondamentale repose sur l’approximation de la circonférence d’un cercle de rayon $R = 1/2$ (dont le périmètre vaut exactement $\pi$) par les périmètres de polygones réguliers à $N$ côtés.

• Un polygone régulier inscrit dans le cercle (situé entièrement à l’intérieur) aura un périmètre $P_N$ strictement inférieur à $\pi$.
• Un polygone régulier circonscrit au cercle (situé à l’extérieur, tangent au cercle) aura un périmètre $Q_N$ strictement supérieur à $\pi$.

Par conséquent, pour tout nombre de côtés $N$, nous avons l’encadrement : $$P_N < \pi < Q_N$$

B. Algorithme de doublement et résultats

Archimède commence ses calculs avec un hexagone régulier ($N=6$). Pour un cercle de diamètre $d=1$ :

• Le périmètre de l’hexagone inscrit vaut $P_6 = 3$.
• Le périmètre de l’hexagone circonscrit vaut $Q_6 = 2\sqrt{3} \approx 3{,}464$. D’où l’encadrement initial : $3 < \pi < 3{,}464$.

Pour affiner cette mesure, Archimède double successivement le nombre de côtés des polygones : $12$, $24$, $48$, puis $96$ côtés. À l’aide de relations géométriques de récurrence (déduites du théorème de la bissectrice et du théorème de Pythagore), il calcule les périmètres successifs sans outil trigonométrique. Pour un polygone à 96 côtés, il obtient l’encadrement historique : $$3 + \frac{10}{71} \le \pi \le 3 + \frac{1}{7} \implies 3{,}1408 \le \pi \le 3{,}1429$$

Cet exploit manuel a fourni une précision à deux décimales (3,14), suffisante pour l’ingénierie pendant des siècles.

C. Limites de la méthode géométrique

Bien que révolutionnaire, la méthode d’Archimède se heurte à une barrière de calcul. Pour obtenir une décimale supplémentaire, il faut augmenter de manière exponentielle le nombre de côtés des polygones. Les calculs impliquent l’extraction manuelle de racines carrées successives de nombres de plus en plus proches de $2$. Le risque d’erreur humaine cumulée limite cette méthode à quelques dizaines de décimales (le record appartient à Ludolph van Ceulen qui calcula 35 décimales en 1596 au prix de polygones à $2^{62}$ côtés).

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II. L’approche probabiliste : l’aiguille de Buffon

A. L’expérience aléatoire

En 1733, le naturaliste Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon, propose une méthode de calcul de $\pi$ totalement inédite, jetant les bases des probabilités géométriques. L’expérience consiste à lancer au hasard une aiguille de longueur $L$ sur un plan horizontal rayé de lignes parallèles espacées d’une distance $D$, avec la contrainte $L \le D$. On cherche à déterminer la probabilité $P$ que l’aiguille coupe l’une de ces lignes.

B. Démonstration par le calcul intégral

Positionnons l’aiguille par rapport aux lignes du parquet :

• Soit $x$ la distance du milieu de l’aiguille à la ligne parallèle la plus proche. Cette variable aléatoire $x$ est uniformément répartie sur l’intervalle $[0 ; D/2]$. Sa fonction de densité est $f(x) = \frac{2}{D}$.
• Soit $\theta$ l’angle aigu formé par l’aiguille et les lignes du parquet. L’angle $\theta$ est uniformément réparti sur l’intervalle $[0 ; \pi/2]$. Sa fonction de densité est $g(\theta) = \frac{2}{\pi}$.

L’aiguille coupe une ligne si et seulement si : $$x \le \frac{L}{2}\sin(\theta)$$

Les variables $x$ et $\theta$ étant indépendantes, la probabilité $P$ correspond à l’intégrale double de leur densité jointe sur la zone de contact : $$P = \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\frac{L}{2}\sin(\theta)} \frac{2}{D} \times \frac{2}{\pi} , dx , d\theta$$ $$P = \frac{4}{\pi D} \int_{0}^{\pi/2} \frac{L}{2}\sin(\theta) , d\theta = \frac{2L}{\pi D} [-\cos(\theta)]_0^{\pi/2}$$ $$P = \frac{2L}{\pi D}$$

Si l’on choisit des aiguilles de longueur égale à la moitié de l’écartement des lattes ($L = D/2$), la formule se simplifie de manière spectaculaire : $$P = \frac{1}{\pi}$$

C. Détermination expérimentale et limites

En lançant l’aiguille $N$ fois et en comptant le nombre de fois $C$ où elle coupe une ligne, la fréquence empirique $\frac{C}{N}$ converge vers la probabilité théorique $P$ d’après la loi des grands nombres. Nous en déduisons : $$\pi \approx \frac{N}{C}$$

Cette méthode est séduisante mais souffre de deux limites majeures. D’une part, elle est empirique : elle dépend de la précision de la fabrication de l’aiguille et du tracé des lignes. D’autre part, la convergence statistique est extrêmement lente, de l’ordre de $1/\sqrt{N}$. Pour doubler la précision du résultat, il faut multiplier le nombre de lancers par quatre.

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III. L’approche analytique : les intégrales et le produit de Wallis

A. Définition de la suite de Wallis

Pour s’affranchir définitivement de l’imprécision des mesures physiques et de la lenteur des lancers aléatoires, les mathématiciens du XVIIe siècle se tournent vers l’analyse pure. En 1655, le mathématicien anglais John Wallis introduit une suite d’intégrales définie pour tout entier naturel $n$ par : $$W_n = \int_{0}^{\pi/2} \sin^n(t) , dt$$

Calculons les premiers termes de cette suite :

• $W_0 = \int_{0}^{\pi/2} 1 , dt = \frac{\pi}{2}$
• $W_1 = \int_{0}^{\pi/2} \sin(t) , dt = [-\cos(t)]_0^{\pi/2} = 1$
• $W_2 = \int_{0}^{\pi/2} \sin^2(t) , dt = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1-\cos(2t)}{2} , dt = \frac{\pi}{4}$

B. Relation de récurrence par intégration par parties

Pour $n \ge 2$, on effectue une intégration par parties sur $W_n$ en posant $u(t) = \sin^{n-1}(t)$ et $v’(t) = \sin(t)$. On obtient la relation de récurrence fondamentale : $$W_n = \frac{n-1}{n} W_{n-2} \quad \text{qui donne} \quad W_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} W_n$$

Sur l’intervalle $[0 ; \pi/2]$, la fonction sinus prend ses valeurs dans $[0 ; 1]$. On en déduit que pour tout $t \in [0 ; \pi/2]$ : $$0 \le \sin^{n+2}(t) \le \sin^{n+1}(t) \le \sin^n(t)$$

Par intégration, la suite $(W_n)$ est décroissante et minorée par 0. Elle est donc convergente. Divisons l’encadrement $W_{n+2} \le W_{n+1} \le W_n$ par $W_n > 0$ : $$\frac{W_{n+2}}{W_n} \le \frac{W_{n+1}}{W_n} \le 1 \implies \frac{n+1}{n+2} \le \frac{W_{n+1}}{W_n} \le 1$$

Puisque $\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n+2} = 1$, le théorème des gendarmes impose : $$\lim_{n\to\infty} \frac{W_{n+1}}{W_n} = 1$$

C. Le produit de Wallis

En exprimant de façon explicite les termes pairs $W_{2p}$ et impairs $W_{2p+1}$ en fonction de $p$ et en faisant le rapport $\frac{W_{2p}}{W_{2p+1}}$, on démontre la formule de Wallis : $$\lim_{p\to\infty} \prod_{k=1}^{p} \frac{4k^2}{4k^2 - 1} = \frac{\pi}{2}$$

Ce qui s’écrit sous la forme d’un produit infini remarquable : $$\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \times \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} \times \frac{4}{5} \times \frac{6}{5} \times \frac{6}{7} \times \dots$$

Cette formule représente le premier produit infini de l’histoire des mathématiques permettant de calculer $\pi$. Il s’agit d’un algorithme purement déterministe qui élimine toute contrainte physique ou aléatoire. En programmant cette formule pour $p = 10$, on obtient déjà une excellente valeur approchée de $\pi$.

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Conclusion

En conclusion, l’histoire des approximations du nombre $\pi$ avant l’avènement des ordinateurs illustre une transition épistémologique majeure. La méthode géométrique d’Archimède, bien que rigoureuse, s’est heurtée à la complexité des calculs manuels de polygones. L’approche probabiliste de Buffon a offert une alternative conceptuelle fascinante liant le hasard à la géométrie du cercle, mais trop dépendante de la physique. C’est finalement l’analyse infinitésimale, illustrée par le produit de Wallis, qui a permis de libérer le calcul de $\pi$ des contraintes matérielles pour en faire un objet d’étude purement analytique.

Aujourd’hui, l’informatique moderne a pris le relais. Grâce à des algorithmes de calculs rapides basés sur des séries de convergence ultra-rapides (comme la formule de Ramanujan ou la formule BBP), les ordinateurs ont calculé plus de $100$ billions de décimales de $\pi$. Toutefois, les fondations de ces calculs reposent entièrement sur la rigueur analytique héritée des mathématiciens du XVIIe siècle.

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Questions Potentielles du Jury

1. Comment démontrer rigoureusement la relation de récurrence des intégrales de Wallis par intégration par parties ?

Réponse : Soit $W_n = \int_{0}^{\pi/2} \sin^n(t) , dt$. Pour $n \ge 2$, nous pouvons écrire l’intégrande sous la forme $\sin^{n-1}(t) \sin(t)$. Posons :

• $u(t) = \sin^{n-1}(t) \implies u’(t) = (n-1)\sin^{n-2}(t)\cos(t)$
• $v’(t) = \sin(t) \implies v(t) = -\cos(t)$

Les fonctions $u$ et $v$ sont continûment dérivables sur $[0 ; \pi/2]$. En appliquant la formule d’intégration par parties, nous obtenons : $$W_n = \left[-\sin^{n-1}(t)\cos(t)\right]0^{\pi/2} + (n-1)\int{0}^{\pi/2} \sin^{n-2}(t)\cos^2(t) , dt$$

Le terme entre crochets s’annule : en $t = \pi/2$ car $\cos(\pi/2) = 0$, et en $t = 0$ car $\sin(0) = 0$ (pour $n-1 \ge 1$). En utilisant l’identité trigonométrique $\cos^2(t) = 1 - \sin^2(t)$, nous réécrivons l’intégrale restante : $$W_n = (n-1)\int_{0}^{\pi/2} \sin^{n-2}(t)(1 - \sin^2(t)) , dt$$ $$W_n = (n-1)\int_{0}^{\pi/2} \sin^{n-2}(t) , dt - (n-1)\int_{0}^{\pi/2} \sin^n(t) , dt$$ $$W_n = (n-1)W_{n-2} - (n-1)W_n$$

Regroupons les termes en $W_n$ : $$W_n + (n-1)W_n = (n-1)W_{n-2} \implies n W_n = (n-1)W_{n-2}$$

D’où, pour tout $n \ge 2$ : $$W_n = \frac{n-1}{n} W_{n-2}$$

2. Comment exprime-t-on $W_{2p}$ et $W_{2p+1}$ en fonction de $p$ à l’aide des factorielles ?

Réponse : En appliquant la relation de récurrence de manière itérative :

• Pour les termes pairs ($n = 2p$) : $$W_{2p} = \frac{2p-1}{2p} \times \frac{2p-3}{2p-2} \times \dots \times \frac{1}{2} \times W_0$$ Puisque $W_0 = \frac{\pi}{2}$, on peut exprimer ce produit sous la forme : $$W_{2p} = \frac{(2p-1) \times (2p-3) \times \dots \times 1}{2p \times (2p-2) \times \dots \times 2} \times \frac{\pi}{2}$$ En multipliant le numérateur et le dénominateur par le produit des termes pairs $2p \times (2p-2) \times \dots \times 2 = 2^p p!$, nous obtenons la forme factorielle classique : $$W_{2p} = \frac{(2p)!}{2^{2p} (p!)^2} \frac{\pi}{2}$$

• Pour les termes impairs ($n = 2p+1$) : $$W_{2p+1} = \frac{2p}{2p+1} \times \frac{2p-2}{2p-1} \times \dots \times \frac{2}{3} \times W_1$$ Puisque $W_1 = 1$, en effectuant un travail similaire d’écriture, nous trouvons : $$W_{2p+1} = \frac{2^{2p} (p!)^2}{(2p+1)!}$$

3. Dans la méthode de l’aiguille de Buffon, pourquoi est-il indispensable que la longueur de l’aiguille $L$ soit inférieure ou égale à l’espacement $D$ des lattes ? Que se passe-t-il si $L > D$ ?

Réponse : La contrainte $L \le D$ est indispensable pour simplifier le calcul de la probabilité. Si $L \le D$, l’aiguille ne peut couper au maximum qu’une seule ligne à la fois. La variable $x$ (distance du centre de l’aiguille à la ligne la plus proche) reste comprise entre $0$ et $D/2$, et la condition de croisement $x \le \frac{L}{2}\sin(\theta)$ est toujours cohérente car le maximum de cette expression, $\frac{L}{2}$, est inférieur ou égal à la borne maximale de $x$, à savoir $D/2$.

Si $L > D$ (l’aiguille est longue), l’aiguille peut traverser plusieurs lignes simultanément. D’une part, l’événement « couper une ligne » n’est plus exclusif. D’autre part, la borne supérieure $\frac{L}{2}\sin(\theta)$ peut dépasser $D/2$ pour certains angles $\theta$. L’intégration doit alors être découpée en plusieurs zones car pour les angles où $\frac{L}{2}\sin(\theta) \ge D/2$, la probabilité de coupure vaut localement $100%$. La probabilité théorique de croisement devient alors plus complexe : $$P = \frac{2L}{\pi D} - \frac{2}{\pi D} \left( \sqrt{L^2 - D^2} + D \arcsin\left(\frac{D}{L}\right) \right) + 1$$ Cette formule permet également d’estimer $\pi$, mais la modélisation mathématique requise dépasse le cadre simple présenté.

4. Quelle est la différence entre un nombre irrationnel et un nombre transcendant ? Pouvez-vous donner un exemple de chaque ?

Réponse : Ces deux concepts décrivent des natures de nombres réels différentes :

• Un nombre irrationnel est un nombre réel qui ne peut pas s’écrire sous la forme d’un quotient $\frac{a}{b}$ de deux entiers relatifs $a$ et $b$ (avec $b \neq 0$). Son développement décimal est infini et non périodique. Un exemple classique est $\sqrt{2}$ (dont l’irrationalité se démontre facilement par l’absurde).
• Un nombre transcendant est un nombre réel qui n’est la solution d’aucune équation polynomiale non nulle à coefficients rationnels. C’est-à-dire qu’il n’existe aucun polynôme $P(x) = a_n x^n + \dots + a_0$ avec tous les $a_i \in \mathbb{Q}$ tel que $P(x) = 0$.

Tous les nombres transcendants sont nécessairement irrationnels (car si un nombre était rationnel $x = a/b$, il serait solution de l’équation $bx - a = 0$, donc algébrique). En revanche, la réciproque est fausse : un nombre irrationnel peut être algébrique. Par exemple, $\sqrt{2}$ est irrationnel, mais il est algébrique car il est solution de l’équation polynomiale $x^2 - 2 = 0$. Le nombre $\pi$ est, lui, à la fois irrationnel et transcendant.

5. Comment ce sujet s’inscrit-il dans votre projet d’études professionnelles ?

Réponse : Ce sujet illustre le lien intime entre l’histoire des sciences et l’évolution de la rigueur mathématique. Il montre comment un problème géométrique concret (calculer le périmètre d’un cercle) a stimulé le développement de branches entières des mathématiques comme le calcul intégral et le calcul de limites. Je souhaite m’orienter vers une classe préparatoire MPSI/MP ou une double licence Mathématiques et Informatique. Mon projet à terme est de travailler dans la recherche en mathématiques appliquées ou dans la conception d’algorithmes numériques. L’étude de la convergence de produits infinis comme celui de Wallis ou la modélisation statistique de Buffon sont directement liées au calcul scientifique et à l’analyse numérique, des disciplines cruciales pour modéliser le climat, optimiser des moteurs physiques ou sécuriser des transactions financières. Ce sujet m’a permis d’appréhender la genèse de ces théories fondamentales.