La Physique au Service de la Justice : Modélisation d’une Trajectoire Balistique

Problématique

Comment les lois de la mécanique classique permettent-elles de modéliser la trajectoire d’un projectile pour reconstituer une scène de crime et déterminer l’origine d’un tir ?

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Introduction

Nous nous sommes tous déjà retrouvés, tard le soir, devant notre télévision à regarder des séries policières telles que Les Experts, NCIS ou Esprits Criminels. Dans ces séries, les enquêteurs de la police scientifique parviennent en quelques minutes, grâce à des logiciels en 3D futuristes ou de simples lasers, à déterminer avec une précision millimétrique l’emplacement exact d’un tireur d’élite. Si le traitement de ces scènes est souvent romancé ou simplifié pour les besoins de l’intrigue, la discipline sous-jacente est bien réelle : il s’agit de la balistique forensique.

La balistique est la science qui étudie le mouvement des projectiles. En médecine légale et en enquête criminelle, elle se divise en trois branches distinctes :

1. La balistique interne, qui analyse ce qui se passe à l’intérieur de l’arme (percussion de l’amorce, combustion de la poudre et propulsion de la balle).
2. La balistique externe, qui étudie la trajectoire de la balle dans l’air, de la bouche du canon jusqu’à la cible.
3. La balistique terminale, qui examine les effets du projectile lorsqu’il atteint sa cible (déformations, transfert d’énergie et caractéristiques des impacts).

Aujourd’hui, nous allons nous intéresser à la manière dont un physicien forensique peut reconstituer une scène de tir en utilisant les lois de la mécanique. Nous verrons dans un premier temps comment modéliser la trajectoire de la balle en comparant le modèle idéal de la chute libre au modèle réaliste intégrant la résistance de l’air. Dans un second temps, nous étudierons comment l’analyse physique des impacts sur la scène de crime permet de remonter à l’angle d’impact. Enfin, nous verrons comment la méthode d’approximation numérique d’Euler permet de coupler ces deux approches pour localiser le tireur.

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I. Modélisation de la trajectoire : de la parabole idéale à la courbe balistique

A. Le modèle théorique de la chute libre (sans frottements)

Pour débuter l’étude de la trajectoire, nous pouvons modéliser la balle par un point matériel de masse $M$ constante. Dans le modèle le plus simple, on néglige l’action de l’air. Le système n’est alors soumis qu’à son propre poids :

$$\vec{P} = M \cdot \vec{g}$$

Selon la deuxième loi de Newton, dans un référentiel terrestre supposé galiléen :

$$\sum \vec{F} = M \cdot \vec{a} \implies M \cdot \vec{g} = M \cdot \vec{a} \implies \vec{a} = \vec{g}$$

L’accélération du projectile est donc constante et égale à l’accélération de la pesanteur. En définissant un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ où l’axe $(Ox)$ est horizontal dans la direction du tir et l’axe $(Oy)$ est vertical dirigé vers le haut, le vecteur accélération s’écrit :

$$a_x(t) = 0 \quad \text{et} \quad a_y(t) = -g$$

Par intégrations successives par rapport au temps $t$, et en considérant les conditions initiales du tir à $t = 0$ (tir à une hauteur initiale $y(0) = y_0$ avec une vitesse initiale $v_0$ inclinée d’un angle $\theta$ par rapport à l’horizontale), on obtient les équations horaires de la vitesse :

$$v_x(t) = v_0 \cos(\theta)$$ $$v_y(t) = -g \cdot t + v_0 \sin(\theta)$$

Puis les équations horaires de la position :

$$x(t) = v_0 \cos(\theta) \cdot t$$ $$y(t) = -\frac{1}{2} g \cdot t^2 + v_0 \sin(\theta) \cdot t + y_0$$

En éliminant le temps $t$, on obtient l’équation cartésienne de la trajectoire :

$$y(x) = -\frac{g}{2 v_0^2 \cos^2(\theta)} x^2 + \tan(\theta) x + y_0$$

Il s’agit de l’équation d’une parabole. Ce modèle théorique est simple et élégant, mais présente des limites physiques importantes pour une balle d’arme à feu.

B. Le modèle réaliste avec frottements fluides

Une balle de carabine (par exemple de calibre .308 Winchester) est propulsée à une vitesse initiale d’environ $2736\text{ km/h}$, soit $v_0 \approx 760\text{ m/s}$. À de telles vitesses supersoniques, les frottements de l’air ne sont plus négligeables et s’opposent au mouvement du projectile. La force de traînée aérodynamique $\vec{F}_f$ est quadratique (proportionnelle au carré de la vitesse) et s’écrit :

$$\vec{F}_f = -\frac{1}{2} \rho \cdot C \cdot A \cdot v \cdot \vec{v}$$

Où :

• $\rho$ est la masse volumique de l’air ($\approx 1{,}2\text{ kg/m}^3$ à température et pression standard).
• $C$ est le coefficient de traînée de la balle ($\approx 0{,}295$).
• $A$ est la surface frontale du projectile (pour un calibre .308, $A \approx 4{,}8 \times 10^{-5}\text{ m}^2$).
• $v$ est la norme de la vitesse instantanée, avec $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.

En réappliquant la deuxième loi de Newton en tenant compte de cette force, l’accélération de la balle devient :

$$\vec{a} = \vec{g} - \frac{\rho \cdot C \cdot A}{2M} v \cdot \vec{v}$$

Ce qui se traduit par le système d’équations différentielles non linéaires couplées suivant :

$$\frac{dv_x}{dt} = -\frac{\rho \cdot C \cdot A}{2M} \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \cdot v_x$$ $$\frac{dv_y}{dt} = -g - \frac{\rho \cdot C \cdot A}{2M} \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \cdot v_y$$

Ce système n’admet aucune solution analytique exacte sous forme de fonctions usuelles. Il est indispensable d’utiliser des méthodes de résolution numérique pour tracer la trajectoire réelle, appelée courbe balistique, qui est plus courte et plus tombante que la parabole idéale.

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II. La balistique terminale : l’analyse physique des impacts sur la scène de crime

Lorsqu’un projectile termine sa course dans un obstacle (une cloison, une vitre, ou une carrosserie), l’analyse physique des dommages permet aux enquêteurs de recueillir des données essentielles.

A. Détermination du sens de tir et “l’effacement de la balle”

La première étape consiste à identifier le trou d’entrée et le trou de sortie. Physiquement, le passage de la balle à travers une surface élastique ou semi-rigide crée des déformations géométriques spécifiques. De plus, la balle accumule des résidus de combustion de la poudre et de lubrifiants lors de son passage à grande vitesse dans le canon rayé. En frappant le premier obstacle, le projectile essuie mécaniquement ces dépôts noirs sur la périphérie du trou d’entrée. C’est ce que l’on appelle la collerette d’effacement de la balle. L’absence de ce dépôt sur un autre orifice confirme qu’il s’agit d’un trou de sortie ou d’un impact secondaire.

B. Détermination géométrique de l’angle d’impact

Si un projectile frappe une surface plane perpendiculairement (angle de $90^\circ$), l’impact circulaire présente une symétrie parfaite. En revanche, si le tir est oblique, l’impact prend la forme d’une ellipse.

En modélisant la trajectoire locale de la balle par un cylindre de diamètre $d$ (le calibre) coupant la surface plane sous un angle d’impact vertical $\alpha$, la géométrie nous indique que la largeur de l’ellipse correspond au diamètre $d$, tandis que sa longueur $D$ dépend de l’inclinaisons. Par trigonométrie élémentaire dans le triangle rectangle formé par le calibre et la trace d’impact, nous établissons la relation suivante :

$$\sin(\alpha) = \frac{d}{D} \implies \alpha = \arcsin\left(\frac{d}{D}\right)$$

En mesurant précisément le petit axe $d$ et le grand axe $D$ de la trace d’impact, les enquêteurs calculent immédiatement l’angle de pénétration verticale $\alpha$. Pour compléter la direction dans l’espace tridimensionnel, on mesure l’azimut $\phi$, qui est l’angle horizontal par rapport au Nord magnétique, mesuré de $0^\circ$ à $360^\circ$.

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III. La reconstruction de la trajectoire par la méthode numérique d’Euler

Une fois l’emplacement de l’impact connu, ainsi que les angles de tir $\alpha$ (vertical) et $\phi$ (horizontal), comment remonter dans le temps pour localiser la position du tireur ? C’est ici qu’intervient la méthode d’Euler.

A. Principe de la méthode d’Euler inverse

La méthode d’Euler est une méthode numérique itérative de premier ordre qui permet de résoudre de proche en proche un système d’équations différentielles à partir de conditions connues. Ici, nous connaissons les conditions finales (la position de l’impact et la vitesse d’impact) et nous voulons remonter la trajectoire vers l’arrière en posant un pas de temps négatif ($\Delta t < 0$).

Pour un petit intervalle de temps $\Delta t$, les approximations du premier ordre s’écrivent :

$$v_x(t + \Delta t) \approx v_x(t) + a_x(t) \cdot \Delta t$$ $$x(t + \Delta t) \approx x(t) + v_x(t) \cdot \Delta t$$ $$v_y(t + \Delta t) \approx v_y(t) + a_y(t) \cdot \Delta t$$ $$y(t + \Delta t) \approx y(t) + v_y(t) \cdot \Delta t$$

B. Algorithme de résolution et ajustement

En pratique, un programme informatique ou un tableur calcule ces suites de valeurs. On injecte les coefficients balistiques de la balle suspecte ($M = 0{,}016\text{ kg}$, $C = 0{,}295$, $A = 4{,}8 \times 10^{-5}\text{ m}^2$) et les données mesurées sur l’impact. Puisque la vitesse exacte de la balle à l’impact n’est pas connue directement, on utilise un algorithme d’estimation et vérification (méthode de tir). On teste différentes vitesses d’impact plausibles. Pour chaque vitesse, on remonte le fil du temps. La trajectoire physique obtenue est ensuite intersectée avec l’environnement topographique ou urbain (fenêtres d’immeubles, obstacles). Si la courbe passe par une zone propice à un tireur (par exemple, un balcon), la vitesse d’impact est validée et l’origine du tir est géographiquement localisée.

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Conclusion

En conclusion, la modélisation balistique forensique démontre la puissance de la mécanique classique appliquée au monde réel. Si les équations théoriques de la chute libre permettent une première approximation parabolique de la trajectoire, la prise en compte des frottements de l’air est indispensable pour obtenir une reconstitution fidèle. Grâce aux équations différentielles aérodynamiques résolues numériquement par la méthode d’Euler et aux mesures trigonométriques précises des impacts, la physique permet de transformer des indices matériels muets en preuves scientifiques irréfutables devant les tribunaux. Les séries télévisées n’ont donc rien inventé : la science surpasse souvent la fiction par sa rigueur et sa précision mathématique.

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Questions Potentielles du Jury

1. Pourquoi le canon d’une arme à feu moderne comporte-t-il des rayures hélicoïdales ? Quel est l’effet physique recherché ?

Réponse : Les rayures internes du canon forcent la balle à tourner très rapidement sur elle-même autour de son axe longitudinal lors de la propulsion (mouvement de rotation). En physique, cette rotation rapide engendre un effet gyroscopique. Selon le principe de conservation du moment cinétique, un objet en rotation rapide résiste aux perturbations externes (comme le vent latéral ou les imperfections géométriques de la balle). Cela stabilise sa trajectoire et évite que la balle ne culbute dans l’air, ce qui réduirait considérablement la précision et la portée du tir.

2. Comment la portée maximale d’un projectile est-elle modifiée par la présence des forces de frottements de l’air ?

Réponse : Dans le vide (modèle idéal de la chute libre), la portée maximale d’un tir est obtenue théoriquement pour un angle de départ $\theta = 45^\circ$. En présence de frottements fluides (modèle réel), la force de traînée s’oppose en permanence au mouvement, ralentissant la balle. La trajectoire n’est plus symétrique : la phase de descente est beaucoup plus raide que la phase de montée. Par conséquent, la portée maximale est considérablement réduite et l’angle de tir optimal pour maximiser la distance n’est plus de $45^\circ$ mais s’abaisse généralement à des valeurs situées entre $35^\circ$ et $40^\circ$ selon le calibre et la vitesse initiale.

3. Quelles sont les limites de la méthode d’Euler et comment peut-on améliorer la précision de la reconstitution ?

Réponse : La méthode d’Euler est une méthode d’intégration numérique du premier ordre. Son principal défaut est l’accumulation d’erreurs dites de discrétisation au fil des itérations, car elle suppose que l’accélération reste constante sur chaque pas de temps $\Delta t$. Pour réduire cette erreur, on peut diminuer la taille du pas de temps $\Delta t$, mais cela augmente le nombre de calculs. Pour obtenir une précision nettement supérieure sans surcharger les calculs, les physiciens forensiques utilisent des méthodes d’ordre supérieur comme la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4 (RK4), qui évalue la pente en plusieurs points intermédiaires de l’intervalle.

4. Pouvez-vous expliquer le phénomène de recul de l’arme lors du tir d’un point de vue physique ?

Réponse : Le recul d’une arme s’explique par le principe de conservation de la quantité de mouvement ($\vec{p} = m\cdot\vec{v}$). Avant le tir, le système {arme + balle} est immobile dans le référentiel terrestre, donc sa quantité de mouvement totale est nulle : $$\vec{p}_{\text{total}} = \vec{0}$$ Lors du tir, la combustion de la poudre propulse la balle de masse $m_b$ vers l’avant à une vitesse $\vec{v}_b$. Le système étant isolé horizontalement pendant l’explosion, la quantité de mouvement doit rester conservée : $$m_b \cdot \vec{v}_b + M_a \cdot \vec{v}_r = \vec{0}$$ Où $M_a$ est la masse de l’arme et $\vec{v}_r$ sa vitesse de recul. On en déduit : $$\vec{v}_r = -\frac{m_b}{M_a} \vec{v}_b$$ Le signe moins montre que l’arme recule en sens opposé à la balle. La vitesse de recul est d’autant plus faible que la masse de l’arme $M_a$ est grande devant celle de la balle.

5. En quoi ce sujet s’inscrit-il dans votre projet professionnel d’orientation ?

Réponse : Ce sujet fait le lien entre ma passion pour la physique théorique (notamment la mécanique et les méthodes numériques) et mon intérêt pour les applications concrètes des sciences dans la société. Je projette de poursuivre mes études dans un cursus scientifique exigeant, comme une Classe Préparatoire aux Grandes Écoles (CPGE) en filière MPSI ou PCSI, ou une licence de physique. Mon objectif professionnel à long terme est d’intégrer une école d’ingénieurs ou de passer les concours de la fonction publique pour travailler au sein de la police scientifique, par exemple dans la section balistique ou l’ingénierie forensique, où la rigueur de la physique mécanique est indispensable au quotidien.