Brevet des collèges Sujet A pour 2026

Partie 1 - Automatismes - 6 points - 20 minutes

Pour cette partie, aucune justification n'est demandée pour les réponses, sauf si la question est à choix multiple, où une seule réponse exacte doit être choisie.

Question 1

Le tiers de 18 se calcule en divisant 18 par 3.
$18 \div 3 = 6$.

Réponse : 6

Question 2

Pour convertir une durée de minutes en heures, on divise le nombre de minutes par 60 (car 1 heure = 60 minutes).
$240 \div 60 = 4$.

Réponse : 4 heures

Question 3

Pour trouver la médiane d'une série de notes, il faut d'abord classer les notes par ordre croissant.
La série de notes est : 8; 12; 6; 19; 15.
Dans l'ordre croissant, la série devient : 6; 8; 12; 15; 19.
Il y a 5 notes dans cette série (un nombre impair). La médiane est la valeur centrale, c'est-à-dire la $(5+1)/2 = 3^{\text{ème}}$ valeur.
La $3^{\text{ème}}$ valeur est 12.

Réponse : 12

Question 4

Pour déterminer l'abscisse du point E sur la droite graduée, on observe la graduation. L'unité est divisée en 4 parties égales. Chaque petite graduation représente donc $1/4$.
Le point E est situé sur la $7^{\text{ème}}$ graduation après le point 0.
Son abscisse est donc $7 \times \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$.

Réponse : C. $\frac{7}{4}$

Question 5

Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à $180^\circ$.
Le triangle ABC est rectangle en B, ce qui signifie que $\hat{B} = 90^\circ$.
On sait que $\hat{A} = 35^\circ$.
Pour calculer $\hat{C}$, on utilise la propriété de la somme des angles :
$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^\circ$
$35^\circ + 90^\circ + \hat{C} = 180^\circ$
$125^\circ + \hat{C} = 180^\circ$
$\hat{C} = 180^\circ - 125^\circ$
$\hat{C} = 55^\circ$.

Réponse : $55^\circ$

Question 6

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal au rapport de la longueur du côté adjacent à cet angle sur la longueur de l'hypoténuse.
Le triangle ABC est rectangle en A. On cherche le cosinus de l'angle $\hat{ABC}$ (ou $\hat{B}$).
Le côté adjacent à l'angle $\hat{B}$ est le côté [AB].
L'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit A) est le côté [BC].
Donc, $\cos(\widehat{ABC}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{\text{AB}}{\text{BC}}$.

Réponse : $\frac{\text{AB}}{\text{BC}}$

Question 7

Les points A, C, D sont alignés et les points A, B, E sont alignés.

Les droites (CB) et (DE) étant parallèles, d'après le théorème de Thalès :
$\frac{\text{AC}}{\text{AD}} = \frac{\text{AB}}{\text{AE}} = \frac{\text{CB}}{\text{DE}}$
Nous connaissons AC = 4 cm, CB = 2 cm et DE = 7 cm.
Nous utilisons le rapport $\frac{\text{AC}}{\text{AD}} = \frac{\text{CB}}{\text{DE}}$
$\frac{4}{\text{AD}} = \frac{2}{7}$.
Pour trouver AD, nous pouvons effectuer un produit en croix :
$2 \times \text{AD} = 4 \times 7$
$2 \times \text{AD} = 28$
$\text{AD} = \frac{28}{2}$
$\text{AD} = 14$ cm.

Réponse : 14 cm

Question 8

Dans un collège, 25% des 300 élèves participent à une olympiade de mathématiques.
Nous devons trouver le nombre d'élèves qui NE participent PAS à cette olympiade.
D'abord on calcule le nombre d'élèves qui participent :
$25\%$ de $300 = \frac{25}{100} \times 300 = 0,25 \times 300 = 75$
Donc le nombre d'élèves qui ne participent pas :
Nombre total d'élèves - Nombre d'élèves participants
$300 - 75 = 225$ élèves.

Réponse : 225 élèves

Question 9

Pour dessiner un carré, un programme doit répéter la même action (avancer d'une certaine distance et tourner) 4 fois, car un carré a 4 côtés égaux et 4 angles droits.
La ligne 3 doit donc être complétée par "4 fois" (répéter 4 fois).
Pour un carré, chaque angle intérieur est de $90^\circ$. Si le stylo avance puis tourne, il doit tourner de $90^\circ$ pour changer de direction et tracer le côté suivant.
La ligne 5 doit donc être complétée par "90 degrés" (tourner de 90 degrés).

Réponse : Ligne 3 : 4 ; Ligne 5 : 90

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Partie 2 - Raisonnement et résolution de problèmes - 14 points

Dans cette partie, toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. La clarté et la précision des raisonnements ainsi que la rédaction sont évaluées sur 2 points.

Exercice 1

Question 1

Pour montrer que le collège a atteint son objectif, nous devons calculer la moyenne de la masse de déchets alimentaires sur les 7 semaines et vérifier qu'elle ne dépasse pas 65 kg.

Les masses relevées sont : 62 kg, 59 kg, 74 kg, 68 kg, 55 kg, 61 kg, 71 kg.
La moyenne $\bar{M}$ est calculée en additionnant toutes les masses et en divisant par le nombre de semaines (7).

$$ \bar{M} = \frac{62 + 59 + 74 + 68 + 55 + 61 + 71}{7} $$ $$ \bar{M} = \frac{450}{7} $$ Effectuons la division :
$450 \div 7 \approx 64,2857...$

La moyenne est environ 64,29 kg.
Puisque $64,29 \text{ kg} < 65 \text{ kg}$, le collège a atteint son objectif.

Question 2.a

Pour déterminer l'effectif total d'élèves de ce collège, nous devons additionner l'effectif de chaque catégorie de distance parcourue à vélo (y compris 0 km). Nous lisons les effectifs sur le diagramme en barres :

• 0 km : 33 élèves
• 1 km : 32 élèves
• 2 km : 42 élèves
• 3 km : 31 élèves
• 4 km : 36 élèves
• 5 km : 28 élèves
• 6 km : 24 élèves
• 7 km : 22 élèves
• 8 km : 14 élèves

L'effectif total (E) est la somme de tous ces effectifs :
$E = 33 + 32 +42 + 31 +36 +28 + 24 +22 +14 $
$E = 252$ élèves.

L'effectif total d'élèves de ce collège est de 252 élèves.

Question 2.b

Nous devons vérifier si l'affirmation "Plus de 30% des élèves ont parcouru au moins 5 km à vélo pour se rendre au collège" est vraie.

1. Identifier le nombre d'élèves qui ont parcouru au moins 5 km à vélo :
Cela correspond aux élèves ayant parcouru 5 km, 6 km, 7 km ou 8 km.
Nombre d'élèves = Effectif (5km) + Effectif (6km) + Effectif (7km) + Effectif (8km)
Nombre d'élèves = $28 + 24 + 22 + 14 = 88$ élèves.

2. Calculer le pourcentage de ces élèves par rapport à l'effectif total :
L'effectif total du collège est de 252 élèves (calculé en 2.a).
Pourcentage $P = \frac{\text{Nombre d'élèves parcourant au moins 5 km}}{\text{Effectif total}} \times 100$
$P = \frac{88}{252} \times 100$
$P \approx 0,345 \times 100$
$P \approx 34,5\%$.

3. Comparer ce pourcentage à 30% :
Nous avons calculé un pourcentage d'environ 34,5%.
Puisque $34,5\% > 30\%$, l'affirmation "Plus de 30% des élèves ont parcouru au moins 5 km à vélo pour se rendre au collège" est vraie.

Exercice 2

Question 1

Vérifions le programme de calcul avec le nombre choisi 4.
1. Choisir un nombre : 4
2. Le multiplier par 2 : $4 \times 2 = 8$
3. Élever le résultat au carré : $8^2 = 8 \times 8 = 64$
4. Retrancher 9 : $64 - 9 = 55$
5. Afficher le résultat : 55

Le programme affiche bien 55 lorsque le nombre choisi est 4.

Question 2.a

Appelons $x$ le nombre choisi au départ. Suivons les étapes du programme de calcul :
1. Choisir un nombre : $x$
2. Le multiplier par 2 : $2x$
3. Élever le résultat au carré : $(2x)^2$
4. Retrancher 9 : $(2x)^2 - 9$

Le résultat obtenu par le programme, en fonction de $x$, est $(2x)^2 - 9$.

Question 2.b

Nous devons identifier l'expression qui correspond au résultat $(2x)^2 - 9$.
Développons d'abord notre expression :
$(2x)^2 - 9 = 4x^2 - 9$.

Cette expression est de la forme $a^2 - b^2$, qui est une identité remarquable factorisable en $(a-b)(a+b)$.
Ici, $a^2 = 4x^2$, donc $a = \sqrt{4x^2} = 2x$.
Et $b^2 = 9$, donc $b = \sqrt{9} = 3$.

Donc, $(2x)^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3)$.

Comparons avec les expressions proposées :
A = 55 (c'est une valeur numérique, pas une expression en $x$)
B = $(2x + 3)^2$ (ce serait $4x^2 + 12x + 9$)
C = $(2x - 3)(2x + 3)$ (cela correspond à notre résultat)
D = $(2x - 3)^2$ (ce serait $4x^2 - 12x + 9$)

L'expression qui correspond au résultat obtenu par le programme est C.

Exercice 3

Les fonctions considérées sont :

• $f: x \mapsto 4x+3$
• $g: x \mapsto 6x$

Question 1

Une fonction représente une situation de proportionnalité si elle peut s'écrire sous la forme $y = kx$, où $k$ est un nombre constant (le coefficient de proportionnalité). La représentation graphique d'une telle fonction est une droite passant par l'origine du repère (point (0,0)).

• La fonction $f(x) = 4x+3$ est une fonction affine. Elle n'est pas de la forme $kx$ car elle a un terme constant (+3) non nul. Si $x=0$, $f(0)=3 \neq 0$. Sa représentation graphique ne passe donc pas par l'origine. $f$ ne représente pas une situation de proportionnalité.
• La fonction $g(x) = 6x$ est de la forme $kx$ avec $k=6$. C'est une fonction linéaire. Si $x=0$, $g(0)=0$. Sa représentation graphique passe par l'origine. $g$ représente une situation de proportionnalité.

La fonction $g$ représente une situation de proportionnalité.

Question 2

Pour calculer l'image de 0 par la fonction $g$, on remplace $x$ par 0 dans l'expression de $g(x)$ :
$g(0) = 6 \times 0 = 0$.

L'image de 0 par la fonction $g$ est 0.

Question 3

Pour déterminer l'antécédent de 0 par la fonction $f$, on cherche la valeur de $x$ telle que $f(x) = 0$.
On résout l'équation :
$4x + 3 = 0$
$4x = -3$
$x = -\frac{3}{4}$.

L'antécédent de 0 par la fonction $f$ est $-\frac{3}{4}$.

Question 4

Nous devons associer chaque droite (d1) et (d2) à la fonction qu'elle représente ($f(x) = 4x+3$ et $g(x) = 6x$).
La représentation graphique d'une fonction linéaire ($g(x)=6x$) est une droite qui passe par l'origine (0,0). Sur le graphique, la droite (d1) est celle qui passe par l'origine. Donc, (d1) représente la fonction $g$.
La représentation graphique d'une fonction affine ($f(x)=4x+3$) est une droite qui ne passe pas nécessairement par l'origine. Le terme constant (+3) est l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire le point où la droite coupe l'axe des ordonnées. Sur le graphique, la droite (d2) coupe l'axe des ordonnées au point (0,3). Donc, (d2) représente la fonction $f$.

Question 5

Pour déterminer graphiquement les coordonnées du point d'intersection des droites (d1) et (d2), nous lisons les coordonnées du point où les deux droites se croisent sur le graphique.
En observant attentivement le graphique, nous voyons que les droites (d1) et (d2) se coupent au point de coordonnées $(1,5; 9)$.

Exercice 4

Question 1.a

Pour qu'un polygone soit régulier, il doit avoir tous ses côtés de même longueur et tous ses angles intérieurs de même mesure.
Le polygone IJKLMNOP est un octogone.
Le carré ABCD a un côté de 9 cm. Les points I, J, K, L, M, N, O, P divisent chaque côté du carré en trois segments de même longueur.
La longueur de ces segments est $9 \div 3 = 3$ cm.
Donc, $AI = IJ = JB = BK = KL = LC = CM = MN = ND = DO = OP = PA = 3$ cm.

Considérons la longueur du côté [IJ] du polygone IJKLMNOP :
$IJ = 3$ cm.

Considérons la longueur du côté [JK] du polygone IJKLMNOP. Le segment [JK] est l'hypoténuse du triangle rectangle JBK, qui est rectangle en B.
Les côtés de l'angle droit sont $JB = 3$ cm et $BK = 3$ cm.
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle JBK :
$JK^2 = JB^2 + BK^2$
$JK^2 = 3^2 + 3^2$
$JK^2 = 9 + 9$
$JK^2 = 18$
$JK = \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$ cm.

Puisque $IJ = 3$ cm et $JK = 3\sqrt{2}$ cm, et que $3 \neq 3\sqrt{2}$ (car $\sqrt{2} \approx 1,414 \neq 1$), les côtés du polygone IJKLMNOP n'ont pas tous la même longueur.
Par conséquent, le polygone IJKLMNOP n'est pas un polygone régulier.

Question 1.b

Pour justifier que l'aire de la surface IJKLMNOP est égale à 63 cm², nous pouvons calculer l'aire du carré ABCD et en soustraire l'aire des quatre triangles rectangles situés aux coins.

1. Calcul de l'aire du carré ABCD :
Le carré a un côté de 9 cm.
Aire(ABCD) = côté $\times$ côté = $9 \times 9 = 81$ cm².

2. Calcul de l'aire des triangles aux coins :
Les triangles aux coins sont IAP, JBK, LCM et NDO.
Tous ces triangles sont des triangles rectangles isocèles (car les longueurs des côtés de l'angle droit sont égales à 3 cm, comme $AI = AP = JB = BK = ... = 3$ cm).
L'aire d'un triangle rectangle est donnée par $\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur}$.
Pour le triangle IAP, la base est AI et la hauteur est AP.
Aire(triangle IAP) = $\frac{1}{2} \times AI \times AP = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2} = 4,5$ cm².
Puisqu'il y a 4 de ces triangles, l'aire totale des quatre triangles est :
Aire(4 triangles) = $4 \times 4,5 = 18$ cm².

3. Calcul de l'aire du polygone IJKLMNOP :
L'aire du polygone IJKLMNOP est l'aire du carré ABCD moins l'aire des quatre triangles aux coins.
Aire(IJKLMNOP) = Aire(ABCD) - Aire(4 triangles)
Aire(IJKLMNOP) = $81 - 18 = 63$ cm².

L'aire de la surface IJKLMNOP est bien égale à 63 cm².

Question 2.a

Pour déterminer l'aire du disque de centre S et de diamètre 9 cm :

1. Calcul du rayon du disque :
Le diamètre du disque est $D = 9$ cm.
Le rayon $R$ est la moitié du diamètre : $R = \frac{D}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$ cm.

2. Calcul de l'aire du disque :
La formule de l'aire d'un disque est $\mathcal{A} = \pi R^2$.
$\mathcal{A}_{\text{disque}} = \pi \times (4,5)^2$
$\mathcal{A}_{\text{disque}} = \pi \times 20,25$ cm².

L'aire du disque de centre S et de diamètre 9 cm est $20,25\pi$ cm².

Question 2.b

Nous devons montrer que la différence entre l'aire du polygone IJKLMNOP et l'aire du disque représente moins de 1% de l'aire du disque.

1. Valeurs utilisées :
Aire du polygone IJKLMNOP = $63$ cm² (calculée en 1.b).
Aire du disque = $20,25\pi$ cm² (calculée en 2.a).
Utilisons une valeur approchée de $\pi \approx 3,14159$ pour les calculs.
$\mathcal{A}_{\text{disque}} \approx 20,25 \times 3,14159 \approx 63,6172$ cm².

2. Calcul de la différence entre les aires :
Différence $= \mathcal{A}_{\text{polygone}} - \mathcal{A}_{\text{disque}}$
Différence $= |63 - 20,25\pi|$
Différence $\approx |63 - 63,6172| \approx |-0,6172| \approx 0,6172$ cm².

3. Calcul de 1% de l'aire du disque :
$1\%$ de $\mathcal{A}_{\text{disque}} = 0,01 \times \mathcal{A}_{\text{disque}}$
$1\%$ de $\mathcal{A}_{\text{disque}} = 0,01 \times 20,25\pi$
$1\%$ de $\mathcal{A}_{\text{disque}} \approx 0,01 \times 63,6172 \approx 0,636172$ cm².

4. Comparaison :
Nous comparons la différence (environ 0,6172 cm²) avec 1% de l'aire du disque (environ 0,636172 cm²).
Puisque $0,6172 < 0,636172$, la différence entre l'aire du polygone IJKLMNOP et l'aire du disque est bien inférieure à 1% de l'aire du disque.